О гипотезе Каталана

[shwedka]

Вот посмотрите еще
Leszczyński, B.
The equation $n\sp{x}+(n+1)\sp{y}=(n+2)\sp{z}$. (Polish)
Wiadom. Mat. (2) 3 1959 37--39 (1959).
доказательство элементарное

[sceptic]

shwedka писал(а):

в более поздней книжке Рибенбойма, 2000 года
которую можно взять, например, на
http://ifolder.ru/8871683
есть большой раздел, этой теме посвященный.

Отчего такая конспирация? Эта книга имеется во всех библиотеках с серьезным (более-менее) математическим разделом.

[shwedka]

вот и хорошо! А я спорю??? А так даже в библиотеку не нужно идти

Ну, тут я лопухнулась, не туда дернулась мышка и вместо книги я послала на файлохранилище ссылку на нее. а так я имела в виду именно книгу для тех, кто по незнанию или другой причине в сетевые библиотеки не ходит.

[maxal]

Sonic86 писал(а):

Блин, почему же случай $p=2,q=3$ такой сложный?!
Попробовал сам решить.
Если $y^3=x^2-1$,

Это кривулька Морделла для $k=1$ - см. http://tnt.math.metro-u.ac.jp/simath/MORDELL/

[juna]

Можно попытаться без Морделла.
$y^3=(x-1)(x+1)$
если $x$ - четно, то имеем $x-1=a^3,x+1=b^3\to b^3-a^3=2$ - невозможно.
Пусть $x=2m+1$, тогда $y^3=4m(m+1)$
1. $m$ - четно, то $4m=a^3,m+1=b^3\to 4b^3-a^3=4\to b^3-2x^3=1$
2. $m$ - нечетно, то $4(m+1)=a^3,m=b^3\to 4b^3+4=a^3\to 2x^3-b^3=1$
Для первого случая имеем $2x^3=b^3-1\to 2(x^3+1)=(b^3+1)$
Для второго случая имеем $2x^3=b^3+1\to 2(x^3-1)=(b^3-1)$
Таким образом, нам нужно доказать невозможность двух случаев:
$\frac{b^3+1}{x^3+1}=2$ и $\frac{b^3-1}{x^3-1}=2$
Пусть $\frac{b^3-1}{x^3-1}=2$, тогда $b=x+w$,
$\frac{x^3+3x^2w+3xw^2+w^3-1}{x^3-1}=2$
после преобразований имеем
$\frac{3x^2}{w^2}+\frac{3x}{w}+1=\frac{x^3}{w^3}-\frac{1}{w^3}$, пусть $z=\frac{x}{w}$, тогда имеем
$z^3-3z^2-3z-1-\frac{1}{w^3}=0$
Далее, если верить Maxima, то получается один действительный корень:
обозначим $s=\left(\frac{\sqrt{4w^6+12w^3+1}}{2w^3}+\frac{6w^3+1}{2w^3}\right )^{\frac{1}{3}}$
$z=1+s+\frac{2}{s}$
Здесь уже помогает квадратичный решатель http://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM , который показывает, что подходящих решений для $4w^6+12w^3+1=u^2$ нет.
Совершенно аналогично поступаем со случаем $\frac{b^3+1}{x^3+1}=2$.Там тоже решений не будет.

[shwedka]

juna в сообщении #156495 писал(а):

$s=\left(\frac{\sqrt{4w^6+12w^3+1}}{2w^3}+\frac{6w^3+1}{2w^3}\right )^{\frac{1}{3}}$

Понимаете, Вы молчаливо предположили, что рациональность $z$ влечет рацииональность $s $, соответственно, квадратный корень обязан извлечься нацело, но этого не доказали.

[juna]

shwedka писал(а):

Понимаете, Вы молчаливо предположили, что рациональность $z$ влечет рацииональность $s $, соответственно, квадратный корень обязан извлечься нацело, но этого не доказали.

Да, вы правы. Лучше доказывать, что
$w\left (1+\left(\frac{\sqrt{4w^6+12w^3+1}}{2w^3}+\frac{6w^3+1}{2w^3}\right )^{\frac{1}{3}}+\frac 2 {\left(\frac{\sqrt{4w^6+12w^3+1}}{2w^3}+\frac{6w^3+1}{2w^3}\right )^{\frac{1}{3}}}\right )$
не может быть целым при целых $w$.
Но на доказательство этого факта как-то желание не возникает. Уж больно страшные выражения.

[Deggial]

Последующие посты TR63, не имеющие особого отношения к теме, отделены в Пургаторий