Построить таблицу истинности и структурную схему высказывани

[Sakura]

Построить таблицу истинности высказывания:

P = (\overline{\bar c \vee b} \cdot b) \longleftrightarrow \overline{((c \cdot \bar a) \vee b) \longrightarrow (\bar c \longrightarrow c)}

По построенной таблице двоичной функции, построить структурную схему, предварительно упростив ее с помощью карты Карно.

Подскажите, пожалуйста, в каком порядке и как решаются подобные задачи?

[Brukvalub]

См. http://www.bashedu.ru/wsap/posobie/chapter1/4.htm, а задачу нужно прямо так и решать, как написано в задании.

[Sakura]

Brukvalub, ничего похожего на то, что записано у меня, там нет. В каком порядке выполняются действия для построения таблицы там тоже нет.

[Brukvalub]

См. http://markx.narod.ru/bool/tabist.html

[mkot]

Строим таблицу истинности следующим образом.
(1) Так как у нас три переменных, то в таблице будет $2^3 = 8$ строчек. Первых
три столбца таблицы в заголовке будут содержать $a$, $b$ и $c$. B этих столбцах
будут перечислены всевозможные комбинации трёх нулей и единиц, обычно
в пордке 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.
(2) Потом добавляем столбец $\overline{c}$, в который записываем отрицание $c$.
(3) Далее добавляем столбец $\overline{c} \vee b$ при вычислении которого
используются значения из столбца $\overline{c}$ и $b$,
(4) Далее строится столбец $\overline{\overline{c} \vee b}$, в котором записываем
отрицание предыдущего столбца.
(n) И так далее строим столбцы пока не дойдём до заданной формулы.

[Sakura]

mkot, я так понимаю, что стрелка и двухконечная стрелка - это импликация и эквивалентность, верно? (почти во всех источниках стрелки двойными рисуются, это одно и то же или нет?).
Каков порядок выполнения операций далее? (я имею ввиду как в начальной школе учили: сначала выполняем операции в скобках, потом возведение в степень, потом умножение/деление, потом сложение/вычитание и т.п.)

[mkot]

Sakura писал(а):

я так понимаю, что стрелка и двухконечная стрелка - это импликация и эквивалентность, верно? (почти во всех источниках стрелки двойными рисуются, это одно и то же или нет?).

Вы правильно понимаете. Это одно и тоже, дело вкуса как обозначать. Мне только непонятно, почему вы конъюнкцию звёздочкой обозначили. Это ведь конъюнкция?

Sakura писал(а):

Каков порядок выполнения операций далее? (я имею ввиду как в начальной школе учили: сначала выполняем операции в скобках, потом возведение в степень, потом умножение/деление, потом сложение/вычитание и т.п.)

В этом выражении все скобки проставлены. Поэтому порядок выполнения операций однозначен
и определятся вложенностью одной формулы в другую.

При постоении, кстати, когда в заголовке столбцов начинают появляться длинные выражения
их можно обозначать какими-нибудь буквами, например, $f := \overline{\overline{c} \vee b}$,
и далее писать $f \wedge b$.

[Sakura]

mkot, да, верно - это конъюнкция, т.е. "и".
Не знала как точку ставить, но сейчас исправила.

Значит следующие столбцы будут такими:
5) \overline{\bar c \vee b} \cdot b
6) \overline a
7) c \cdot \bar a
8) (c \cdot \bar a) \vee b
9) \overline c \longrightarrow c
10) ((c \cdot \bar a) \vee b) \longrightarrow (\bar c \longrightarrow c)
11) \overline{((c \cdot \bar a) \vee b) \longrightarrow (\bar c \longrightarrow c)}
12) (\overline{\bar c \vee b} \cdot b) \longleftrightarrow \overline{((c \cdot \bar a) \vee b) \longrightarrow (\bar c \longrightarrow c)}

Верно ли я продолжила список столбцов как они должны идти дальше?

[mkot]

Цитата:

Верно ли я продолжила список столбцов как они должны идти дальше?

Ну, вроде правильно.

[luitzen]

Если использовать что-нибудь вроде $\neg$ для отрицания подформулы вместо черты над ней, то можно не плодить столбцов с длиннющими заглавиями, а писать истинностное значение подформулы прямо под её главным знаком.

Примерно так:

\begin{array}{cccc} A&\to&\neg&A \\ 1&0&0&1\\ 0&1&1&0 \end{array}

[Sakura]

luitzen, подскажите, пожалуйста, если отрицание стоит не над символом, а над выражением, то как это будет записано в таблице вашим способом? И как записать импликацию, которая в основном и создает столбец с длинным названием? (эквивалентность в выражении употребляется однажды, поэтому согласна, что последний (12) столбец можно просто обозначить знаком импликации).

[gefest_md]

Связка $ позволяет писать под неё столбец логических значений, 0 или 1, составной формулы $\neg\,A$, где $A$ любая формула, простая или составная (можно со скобками).

[Sakura]

gefest_md, Вы имеете ввиду то же самое, что сказал mkot?

mkot писал(а):

При постоении, кстати, когда в заголовке столбцов начинают появляться длинные выражения
их можно обозначать какими-нибудь буквами, например, $f := \overline{\overline{c} \vee b}$,
и далее писать $f \wedge b$.

[gefest_md]

Sakura писал(а):

gefest_md, Вы имеете ввиду то же самое, что сказал mkot?

mkot писал(а):

При постоении, кстати, когда в заголовке столбцов начинают появляться длинные выражения
их можно обозначать какими-нибудь буквами, например, $f := \overline{\overline{c} \vee b}$,
и далее писать $f \wedge b$.

Я пересказал мысль luitzen-а о том, что всю формулу можно писать один раз, если использовать $\neg$, и затем под каждым символом этой формулы (буква или связка) вставляется столбец логических значений. Черта на формулой не позволяет так делать, и поэтому следуйте указаниям mkot-а, чтобы не загромождать результирующую таблицу длинными формулами.

[Sakura]

Вот такая у меня получилась таблица истинности высказываний, но насколько она верна?
В том ли порядке расставлены действия?
Верно ли они выполнены (верно ли расставлены 0 и 1)?
(Для облегчения общения, чтобы не переписывать всю таблицу, я расставила вверху и слева номера столбцов и строк)

\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline . & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\ \hline \hline 1 & a & b & c & \overline c & \overline c \vee b & \overline{\overline c \vee b} & \overline{\overline c \vee b} \cdot b & \overline a & c \cdot \overline a & (c \cdot \overline a) \vee b & \overline c \rightarrow c & ((c \cdot \overline a) \vee b) \rightarrow (\overline c \rightarrow c) & \overline{((c \cdot \overline a) \vee b) \rightarrow (\overline c \rightarrow c)} & (\overline{\overline c \vee b} \cdot b) \leftrightarrow \overline{((c \cdot \overline a) \vee b) \rightarrow (\overline c \rightarrow c)} \\ \hline \hline 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 4 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 5 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 6 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 7 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 8 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 9 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline \end{tabular}

gefest_md, я не очень поняла как использовать тот знак, про который Вы писали. Что это за знак? Что именно под ним пишется? В каком месте таблицы он употребляется?