Любопытные задачки по логике

[вздымщик Цыпа]

Директор мира в сообщении #152680 писал(а):

Мне нужно не только решить но и, главное, оформить в соответствии с требованиями

Какие требования к оформлению предъявляет Ваше учебное учреждение — это может быть известно только Вам. Если Вам в этом что-то непонятно, обратитесь к Вашему преподавателю. Никаких общепринятых правил на этот счет нет.

Директор мира в сообщении #152680 писал(а):

Первая задача решается в рамках классической логики высказываний и, потребуется построение таблицы истинности.
Вторая задача на применение и анализ логического знания: найти примеры, ошибки, исправить, выбрать верный вариант.

Есть подозрение, что указания перепутаны местами. Т.е. Первое указание ко второй задаче, а второе — к первой.

Директор мира в сообщении #152680 писал(а):

Мне будет намного легче, когда я увижу решение подобных и смогу изучить именно тот материал, который мне как раз нужен для выполнения заданий.

Хорошо.

1)
1. Кто-то съел яблоко.
2. В процессе следствия установили, что в момент превращения яблока в огрызок, в комнате был только Вася.
Вопрос: съел ли Вася яблоко?

Предположим, что Вася яблоко не ел. Тогда в соответствии с п. 2 яблоко не ел никто, что противоречит пункту 1. Следовательно, Вася яблоко ел.

2)
Возьмем утверждение: «дважды два — четыре, следовательно неверно, что дважды два — не четыре».

Утверждение «дважды два — четыре» обозначим через $A$, построим истинностную таблицу для утверждения $A \to \neg\neg A$.

$$\begin{array}{cccc} A & \neg A & \neg\neg A & A \to \neg\neg A \\ \text{да} & \text{нет} & \text{да} & \text{да} \\ \text{нет} & \text{да} & \text{нет} & \text{да} \end{array}$$

Во всех строчках в таблице под $A \to \neg\neg A$ стоит «да», значит формула тождественно истинная.

Надеюсь, теперь Вам будет гораздо легче.

[Директор мира]

Задача 1: на складе совершено крупное хищение. Преступник (или преступники) вывез награбленное на автомашине. Подозрение пало на трех преступников: А, Б, В, которые были доставлены на допрос. Было установлено следующее:
• Никто, кроме А, Б и В в хищении не замешан
• В никогда не ведет дело без А
• Б не умеет водить машину.
Виновен или не виновен А?
Решение задачи 1:
Предположим, что А – невиновен, тогда и В тоже не виновен, так как в условии нам дано, что В никогда не ведёт дело без А.
В число подозреваемых попадает Б, из условия задачи нам известно, что преступник (или преступники) вывез награбленное на машине. Б не умеет водить машину, следовательно, он не мог совершить ограбление один.
Но по условию нам дано, что никто, кроме А, Б и В в хищении не замешан.
Следуя заключениям, сделанным на основе данных условий и условии задачи можно сделать вывод, что преступник А замешан в крупном хищении, то есть А – виновен.
Ответ: А – виновен.

Можно назвать это правильным решением задачи?
Спасибо за пример, он мне помог

Добавлено спустя 3 минуты 13 секунд:

Что касается второй задачи: я не совсем понимаю эти обозначения, где мне взять шаблон этой таблицы?

Добавлено спустя 19 минут 7 секунд:

p q ¬p p&q p∨q p∨q p⊃q p≡q
и и л и и л и и
и л л л и и л л
л и и л и и и л
л л и л л л и

Вот таблица истинности, как называются обозначения и что означают.

Добавлено спустя 29 минут 24 секунды:

Объясните мне, пожалуйста, алгоритм заполнения таблицы истинности

Добавлено спустя 31 минуту 40 секунд:

p – солнце встаёт;
q – наступает утро;
Когда солнце встаёт, тогда наступает утро.
p ⊃ q – импликация;
Следовательно, неправда, что солнце встало, а утра не наступило».
¬p&q - коньюнкция
это нужно или что-то другое?

[luitzen]

В принципе, первую задачу тоже можно решить «таблично».

Оговорив, что значат $\hbox{\it A}$, $\hbox{\it Б}$, $\hbox{\it B}$ и слегка переинтерпретировав условия, можно написать такую формулу: $(\hbox{\it A} \lor \hbox{\it Б} \lor \hbox{\it В} ) \land (\hbox{\it Б} \rightarrow \hbox{\it А}) \land \neg (\hbox{\it Б} \land \neg\hbox{\it А} \land \neg\hbox{В})$. В принципе, формула может быть чуть-чуть иной, это зависит от того, насколько нагло интерпретировать условия задачи.

Теперь можно составить таблицу, и увидеть, что нет таких сочетаний значений $\hbox{\it A}$, $\hbox{\it Б}$ и $\hbox{\it B}$, при которых $\hbox{\it А}$ — ложно, а формула истинна. Более того… ну, тут уж сами.

Во второй задаче от вас, видимо, требуют построить таблицу для чего-то вроде $(\hbox{\it С} \rightarrow \hbox{\it У}) \rightarrow \neg (\hbox{\it С} \land \neg\hbox{\it У})$. Но, в принципе, подобные вещи можно обосновывать и неформально, не очень даже долго скребя языком.

[Директор мира]

Когда солнце встаёт, тогда наступает утро.
p ⊃ q – импликация;

Следовательно, неправда, что солнце встало, а утра не наступило».
¬(p&¬q) – конъюнкция

(p ⊃ q) ⊃¬(p&¬q) - получилась формула всего выражения

Если это верно, как мне подписывать названия столбцов[/math]

[вздымщик Цыпа]

Так и подписывать: p, q, p ⊃ q, ¬q, p&¬q, ¬(p&¬q), (p ⊃ q) ⊃¬(p&¬q)

[Директор мира]

p q ¬q (p⊃q) (p&¬q) ¬(p&¬q) (p⊃q)⊃¬(p&¬q)
и и л и л и и
и л и л и л и
л и л и л и и
л л и и л и и


Последний (результирующий) столбец показал, что значение всей формулы в целом является истинным, то есть формула является тождественно-истинной (общезначимой).

Ответ: формула - (p ⊃ q) ⊃¬(p&¬q), соответствующая данному рассуждению: «Когда солнце встаёт, тогда наступает утро. Следовательно, неправда, что солнце встало, а утра не наступило» является тождественно-истинной.

Добавлено спустя 1 минуту 21 секунду:

может я что-то упустил?

[ursa]

1)

Цитата:

Первая задача решается в рамках классической логики высказываний и, потребуется построение таблицы истинности.

Сомневаюсь. Больше похоже на задачу с множествами.
Но я приведу логические рассуждения
Итак, преступление было совершено элементами множества (А, Б, В), т. е. или (or) А, или Б, или В , или А и Б ,или А и В, или Б и В, или А и Б и В.
Мы видим, что А не замешан лишь в случаях Б, или В, или В и Б
Если Б не умеет водить машину, значит он в одиночку не мог совершить преступление (исключаем вариант Б), остается вариант В или В и Б.
Оба подмножества содержат в себе элемент В.
Но мы знаем, что В не ведет дела без А, следовательно,
А замешан.
2) Могу вторую задачу записать так:
если p & q = И, то jтрицание(отрицание(p) & q) = Отрицание(Л) = И
А вообще значки мат. логики не помню поэтому равно тут явно не в тему...


26.06.10 перемещено из «Междисциплинарного раздела» в «Гуманитарный раздел». / GAA