Интегрировать биномиальный дифференциал

[t3rmin41]

Не получается проинтегрировать этот интеграл

\int_$\frac{dy}{(y^2+h^2)^\frac{3}{2}}$

я так понимаю, это биномиальный дифференциал где m=0, n=2, p=-3. Пробовал делать подстановку y^2=z - не выходит. Может, если нетрудно, помогите решить это задание

[Henrylee]

Наверное Вы имеете в виду дифференциальный бином, но при чем тут он, у Вас функция рациональна. Ковыряте, например, метод Остроградского.

Добавлено спустя 1 минуту 53 секунды:

И уберите два внутренних значка доллара из формулы, а то выглядит жутковато.

[t3rmin41]

Это тот, где нужно определить неизвестные коэффициенты A,B,C,D и так далее ? вот что у меня получилось:

$\frac{1}{(y^2+h^2)^3}$ = $\frac{1}{(y-h)^3(y+h)^3}$

и тогда

$\frac{1}{(y-h)^3(y+h)^3}$=$\frac{A1}{(y-h)^3}$+$\frac{A2}{(y-h)^2}$+$\frac{A3}{(y-h)}$+$\frac{B1}{(y+h)^3}$+$\frac{B2}{(y+h)^2}$+$\frac{B3}{(y+h)}$

и дальше уже находить A1,A2, A3 и B1, B2, B3 ?

[Henrylee]

Ну во-первых это метод неопределенных коэффициентов. А во-вторых, Вы точно ничего не попутали ?

t3rmin41 писал(а):

$\frac{1}{(y^2+h^2)^3}$ = $\frac{1}{(y-h)^3(y+h)^3}$

[t3rmin41]

А разве нет?

4^3=64; 4^3=2^3*2^3=8*8=64; 9^2=3^2*3^2=9*9=81

Я думаю, то, что годится для 4^3 и 9^2 то сгодится и для (a*b)^c

если так, то правильно ли записано то равенство? А то подзабыл точно как что с этими коэфициентами..

[Henrylee]

t3rmin41 писал(а):

А разве нет?

4^3=64; 4^3=2^3*2^3=8*8=64; 9^2=3^2*3^2=9*9=81

Я думаю, то, что годится для 4^3 и 9^2 то сгодится и для (a*b)^c

если так, то правильно ли записано то равенство? А то подзабыл точно как что с этими коэфициентами..

Это Вы вообще о чем? Я лично о том, как Вы хитро разложили сумму квадратов..

[t3rmin41]

точно, оно ж не имеет действительных корней...

И как тогда быть?

[Brukvalub]

Обозначить $\int {\frac{{dy}}{{(y^2 + h^2 )^n }}} = I_n $, найти $I_1 $ и вывести рекуррентную ф-лу, связывающую $I_{n - 1} $ и $I_n $.

[t3rmin41]

Хм... а более простого способа нету?

[GAA]

Интеграл $I_n$ используется при рассмотрении интегрирования простейшей алгебраической дроби четвертого типа. И выводится непосредственно перед этим в теме «Интегрирование алгебраической дроби», либо заблаговременно в теме «Интегрирование по частям». См. конспект лекций, либо учебник, например, п. 2, § 2 главы 6 в [1].

Ref.
[1] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Т1. — М.: Наука, 1982. (Добавлено Более позднее издание в электронном виде)

[t3rmin41]

Я дико извиняюсь, мной была допущена ошибка. Нужно вычислить не

\int_$\frac{dy}{(y^2+h^2)^3}$

а

\int_$\frac{dy}{(y^2+h^2)^\frac{3}{2}}$

Вот последнее у меня никак не выходит...

[Brukvalub]

Подстановка $x = \frac{y}{{\sqrt {h^2 + y^2 } }}$

[t3rmin41]

Хорошо, у меня получилось x=y*(y^2+h^2)^{-\frac{1}{2}} dx = (((y^2+h^2)^{-\frac{1}{2}}+\frac{y^2}{(y^2+h^2)^{\frac{3}{2}}}) : (y^2+h^2) )*dy

после упрощений:

$dx = \frac{(y^2+h^2)^2+y^2}{{\sqrt {y^2+h^2 } }}$dy

И что дальше?

[Brukvalub]

t3rmin41 в сообщении #152868 писал(а):

И что дальше?

Перестать писать ерунду и научиться делать подстановку.

[t3rmin41]

Может, ты напишешь не ерунду? Если есть ошибка - скажи, где я не вычислительная машина - вполне мог и ошибиться. А если нету, не засоряй эфир