Интегрировать биномиальный дифференциал

[ewert]

Так, но только потому, что запись $y=x\sqrt{h^2+y^2}$ бесполезна -- переменные надо разносить по разные стороны знака равенства.

Подстановка $x^2=t$ тоже бесполезна, поищите сами, что Вы зевнули, так дёшево в данном случае не выйдет.

[t3rmin41]

ewert писал(а):

Так, но только потому, что запись $y=x\sqrt{h^2+y^2}$ бесполезна -- переменные надо разносить по разные стороны знака равенства.

Так чем тогда отличались мои действия

Цитата:

Хорошо, у меня получилось x=y*(y^2+h^2)^{-\frac{1}{2}} dx = (((y^2+h^2)^{-\frac{1}{2}}+\frac{y^2}{(y^2+h^2)^{\frac{3}{2}}}) : (y^2+h^2) )*dy

после упрощений:

$dx = \frac{(y^2+h^2)^2+y^2}{{\sqrt {y^2+h^2 } }}$dy

? Как тогда подставить вместо dy другой дифференциал (не столько подставить, сколько найти) ?

ewert писал(а):

Подстановка $x^2=t$ тоже бесполезна, поищите сами, что Вы зевнули, так дёшево в данном случае не выйдет.

Хорошо, вот вам другой пример:
$\int{\frac{x^4 dx}{(x^5+1)^4}}$= [x^5=t; dt=5x^4dx; dx=\frac{dt}{5x^4}] = $\int{\frac{x^4}{5x^4(t+1)^4}}$=$\frac{1}{5}$ $\int{(t+1)^{-4}dt$=-$\frac{1}{15(x^5+1)^3}$+C

Этот пример решён правильно 100%, мы его решали на семинарах вместе с преподователем.[/quote]

[GAA]

Рассматриваемый интеграл можно считать интегралом от биномиального дифференциала [1, Гл. 7, §10, n.3 «Интегрирование биномиальных дифференциалов»] и для его интегрирования применить одну из трех подстановок. Замены можно посмотреть и в [2, 3], и практически в любом подробном учебнике по анализу.
Однако, можно рассматривать этот интеграл и как интеграл от квадратичной иррациональности, и обратится к [1, Гл. 7, §10, n.5 (Интегрирование квадратичных иррациональностей другим способом)] (подстановка Абеля, указанная Вам участником Brukvalub). Очень подробно этот материал изложен в [3, n. 284 «Другие приёмы вычисления»].
Но в данном случае имеем настолько «вырожденный» случай квадратичной иррациональности, что проще всего сделать тригонометрическую/гиперболическую замену, если владеть ими (предложение ewert).
Замечу, что подстановки для интеграла от биномиального дифференциала, как правило, входят в программу, и я бы обязательно попробовал выполнить интегрирование при помощи одной из этих подстановок.

Ref ([1] — раньше в теме)
[2] Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — М.: Наука, 1990. [Многократно переиздавался.]
[3] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2 — М.: Наука, 1966.

Перед участником Brukvalub нужно извиниться: он был хоть и излишне резок, но прав.

Добавлено спустя 14 минут 32 секунды:

t3rmin41 писал(а):

Хорошо, вот вам другой пример:
$\int{\frac{x^4 dx}{(x^5+1)^4}}$= [x^5=t; dt=5x^4dx; dx=\frac{dt}{5x^4}] = $\int{\frac{x^4}{5x^4(t+1)^4}}$=$\frac{1}{5}$ $\int{(t+1)^{-4}dt$=-$\frac{1}{15(x^5+1)^3}$+C

Думаю, ewert не вчитался в Ваш пример с заменой $t= x^2$. Замены правильные, но, и в предыдущем примере с $t= x^2$, и в этом примере, записи оформляют по-другому. Пишут
$\int\frac{x^4dx}{(x^5+1)^4} = [x^5=t; x^4dx = dt/5]= $ $1/5\int\frac{dt}{(t+1)^4}$.
(Обратите внимание: в $x^4dx = dt/5$ с одной стороны от знака равенства стоят величины зависящие от $x$, а с другой — от $t$).
Либо
$\int\frac{x^4dx}{(x^5+1)^4} = $ $\int\frac{dx^5/5}{(x^5+1)^4}=1/5\int\frac{dx^5}{(x^5+1)^4} =[x^5=t] =1/5\int\frac{dt}{(t+1)^4}$.

Добавлено

Если предлагать самый простой способ решения, то это — интегрирование по частям. Полная аналогия с вычислением по частям интеграла $I_n$, обсуждавшимся в начале темы (в связи с ошибкой в условии).