2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Диофантовы приближения
Сообщение10.10.2008, 16:19 
Заданы рационально несоизмеримые числа $\omega_1$ и $\omega_2$ Верно ли, что для любого числа $a$ и любого $\varepsilon>0$ найдутся целые $m$ и $n$ такие, что
$|\omega_1 n+\omega_2 m-a|<\varepsilon$?
Если нет то какие условия на $\omega_{1,2}$ надо наложить?

 
 
 
 
Сообщение10.10.2008, 22:13 
redhat
Верно.
Сначала докажите для $a=0$, поделив обе части, например, на ненулевое $\omega_2$ и воспользовавшись тем фактом, что $\{\alpha n\}, n\in\mathbb{Z}, \alpha\notin\mathbb{Q}$ плотно заметает отрезок $[0;1]$ (или заново доказав этот факт).
После этого переход к произвольному $a$ можно сделать, "придвинув" комбинацию $\omega_1 n + \omega_2 m$ к $a$ на расстояние не более $\varepsilon$ "шагами" величины менее $2\varepsilon$ (если понятно, о чём я).

 
 
 [ Сообщений: 2 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group