найти собственные значения и собственные векторы матриц

[tensib]

Помогите пожалуйста научиться находить собственные значения и собственные векторы матриц, на этих двух примерах( одна 2ого порядка, другая 3 ого)

5 2
4 3

2 1 -1
1 2 -1
0 0 1


заранее спасибо

[TOTAL]

А что такое "собственный вектор" и "собственное значение" для матрицы?

[ewert]

нет, не "что такое", а "каков алгоритм", а он в учебных задачах всегда стандартен: $\det(A-\lambda I)=0$. Непонятно, что конкретно непонятно.

(привычка некоторых товарищей обзывать единичную матрицу буквой $E$ лично у меня вызавает искреннее (почти) возмущение)

[tensib]

не могу просто понять..хотелось бы на одном примере разобраться

[Really]

Вот и разберитесь. Возьмите свою первую матрицу, отнимите $\lambda I$,
вычислите определитель, приравняйте к нулю и найдите $\lambda$. Все по определению.

[bubu gaga]

tensib писал(а):

не могу просто понять..хотелось бы на одном примере разобраться

Если взять произвольный вектор $\mathbf{x}_0$ и умножить (квадратную) матрицу на этот вектор $\mathbf{x}_1 = \mathbf{A} \mathbf{x}_0$, то в общем случае мы получим какой-то новый вектор. Этот вектор обычно отличается от старого двумя вещами: длинной и направлением. Так вот есть особенные векторы для которых направление не меняется.

Возьмите Вашу маленькую матрицу и посмотрите что она делает с векторами $(3 \; -2)^T$, $(0 \; 1)^T$, $(1 \; 1)^T$.

Потом подумайте как в общем виде записать условие на неизменность направления.

[ewert]

да не надо любопытствовать, что она делает. Вопрос -- сугубо формальный. Надо попросту и честно раскрыть тот определитель (например, разложением по строке) и приравнять его к нулю Ну и найти корни (т.е. значения лямбдов) получившегося уравнения.

Думать тут не над чем, схема -- абсолютно жёсткая.

[bubu gaga]

ewert писал(а):

да не надо любопытствовать, что она делает

я видимо неверно отреагировал на слово "понять"

Добавлено спустя 13 минут 25 секунд:

tensib

http://ocw.mit.edu/ans7870/18/18.06/javademo/Eigen/

В апплете введите Вашу 2x2 матрицу, и нажав левую кнопку мыши поводите ей в области где написано "Click and drag here!".

Чёрный вектор это Ваш вектор $x$, красный $Ax$, когда стрелки становятся синими - это значит Вы нашли собственный вектор.

Формулу которую Вам указали - есть прямой и точный способ найти эти собственные значения и вектора.

[Алексей К.]

bubu gaga в сообщении #147626 писал(а):

я видимо неверно отреагировал на слово "понять"

На мой взгляд, Вы отреагировали на это слово верно и нелениво.

[Деблер]

Например, у нас есть матрица A 2-го порядка
Собственные значения находим через уравнение:
$\lambda^{2} - Tr A + det A = 0$
Tr - трек матрицы $Tr A = a_{11}+a_{22} $
det - определитель, думаю тут понятно!
Дальше, решив уравнение и получив значения $\lambda_{1,2}$ Это и есть собственные значения.
Теперь, чтобы найти векторы, запомните $Au = \lambda u$
Т.е.
$\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\\ \end{array}\right)$ $ \left(\begin{array}{ccc} u_{1}\\ u_{2}\\ \end{array}\right) $ $=\lambda \left(\begin{array}{ccc} u_{1}\\ u_{2}\\ \end{array}\right) $
Получаем уравнения:
$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}u_{1}+a_{12}u_{2} = \lambda u_{1},\\ a_{21}u_{1}+a_{22}u_{2} = \lambda u_{2}, \end{array} \right. $
Строим график и смотрим на полученные вектора

[ewert]

(не трек, а трейс (англ.), или шпур (нем.), или след (рус.), все употребительны)

Ну раз уж такое дело, то вот полная теория, она совсем коротенькая.

Число $\lambda$ и вектор-столбец $\vec u$ наз. собственными, если
$\begin{cases}A\vec u=\lambda u;\\ \vec u\neq0.\end{cases}$
Первая строчка переписывается как $(A-\lambda I)\vec u=\vec 0$. Это -- однородная линейная система для компонент столбца $\vec u$:
$\begin{cases}(a_{11}-\lambda)u_1+a_{12}u_2=0;\\ a_{21}u_1+(a_{22}-\lambda)u_2=0\end{cases}$
(в двумерном случае; в многомерном ровно так же). Нам нужно, чтобы эта система имела нетривиальное (ненулевое) решение. А поскольку тривиальное решение у неё есть всегда, требуется, чтобы к-во решений было бесконечным. Это означает, что детерминант матрицы должен быть нулевым, что и даёт уравнение на собственные числа.

После того, как лямбды уже найдены, надо каждую из них по очереди подставить в систему и честно эту систему решить, вот и получатся соответствующие собственные векторы.

Они, конечно, будут неединственными -- как минимум каждый собственный вектор определён с точностью до произвольного постоянного множителя (а вообще говоря с.в. для каждого с.ч. образуют линейное подпространство). Поэтому даже в двумерном случае систему разумнее решать методом Гаусса -- в нём получение общего решения выглядит вполне прозрачно.

Вот и всё.

[Prokop]

А что делать, если эти лямбды комплексные числа?

[bot]

ewert в сообщении #147574 писал(а):

привычка некоторых товарищей обзывать единичную матрицу буквой $E$ лично у меня вызавает искреннее (почти) возмущение

Буква $E$ скорее всего от немецкого Ein - один, раньше больше литературы на немецком было в ходу, а если захотеть то можно прочитать как Единица.
Теперь больше на аглицком - вот и пошла буква $I$ от Identity, надо полагать, на римскую цифру I похожа, тоже ничего.
А вот мы пишем $A=(a_{ps})$ и в то же время никто не пишет $E=(e_{ij})$ или $I=(i_{ij})$ - все пишут $(\delta_{ij})$ и никто не возмущается.

Prokop в сообщении #147691 писал(а):

А что делать, если эти лямбды комплексные числа?

Ровно то же самое, только вдвое меньше при вещественной матрице - собственные числа сопряжены и собственные векторы тоже.

[ewert]

bot в сообщении #147704 писал(а):

Буква $E$ скорее всего от немецкого Ein - один, раньше больше литературы на немецком было в ходу, а если захотеть то можно прочитать как Единица.

А ещё можно по-аглицки как Eye, а вот почему можно -- никак не врублюсь.

Добавлено спустя 7 минут 45 секунд:

bot в сообщении #147704 писал(а):

Ровно то же самое, только вдвое меньше при вещественной матрице - собственные числа сопряжены и собственные векторы тоже.

Нехорошо так говорить, нехорошо. Взаимно сопряжённые собственные числа -- это разные собственные числа.

[Деблер]

ewert писал(а):

(не трек, а трейс (англ.), или шпур (нем.), или след (рус.), все употребительны)

ABBYY Lingvo 12

Цитата:

track - след, отпечаток.
trace - след, отпечаток.