======= 138 ========ММ138 (6 баллов)
Доказать, что для любого натурального k найдутся натуральные a, n и g, такие что для всех i из {0,1,... ,k-1}
в системе счисления с основанием g+i, число a является n-i-значным.
===============РешениеПриведу решение Владислава Франка.
Условие задачи равносильно следующему утверждению:

Попробуем подобрать

и

так, чтобы все выражения в левых (и правых) частях неравенства были очень близки друг к другу.
Для этого нужно, чтобы функция

была почти постоянна, а для этого ее производная

должна мало отличаться от нуля.
Для этого

должно быть близко к

. Выберем

и в качестве

возьмем

.
Тогда

. Значит функция убывает и принимает максимальное значение на границе интервала. Поэтому от всех оценок для

сверху достаточно оставить одну:

.
Аналогично, рассматривая нижние оценки, получаем:

и

.
Поэтому из всех оценок снизу достаточно взять

.
Докажем, что при больших

в интервале

найдется хотя бы одно натуральное число (оно-то и будет нашим

).
(Заодно мы докажем, что верхняя граница интервала действительно больше нижней.)
Достаточно доказать неравенство

. Тогда длина интервала будет велика и хотя бы одно число туда попадет.
Логарифмируем:

Как известно,

при малых

, поэтому достатчно будет доказать



Очевидно, это верно при больших

поскольку в правой части все слагаемые, кроме первого, стремятся к 0 с ростом

.
Остается взять подходящее

, по нему

и по ним

.
ОбсуждениеПриведу пример для

: Пусть

(в десятичной системе). Ниже приводится (обратная) запись

для систем с основаниями от 5 до 9:
Код:
5, [0, 0, 1, 0, 0, 1, 4, 0, 1, 0, 2, 1, 4, 2], 14
6, [2, 1, 2, 0, 2, 5, 3, 5, 5, 3, 3, 3, 1], 13
7, [1, 2, 1, 5, 1, 1, 6, 5, 2, 2, 5, 1], 12
8, [0, 2, 6, 5, 1, 0, 5, 6, 7, 1, 3], 11
9, [8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8], 10
Для больших значений

потребуются огромные

. Например, для

Сергей Половинкин нашел

порядка

. Похожие оценки получил и Алексей Волошин.
НаградыЗа правильное (более аккуратное, чем у ведущего) решение задачи ММ138 Дмитрий Пашуткин, Анатолий Казмерчук и Владислав Франк получают по 7 призовых баллов. Александр Ларин получает 6 призовых баллов, Алексей Волошин и Сергей Половинкин - по 4 призовых балла, Николай Дерюгин - 3 призовых балла.
Эстетическая оценка задачи 4.9 баллаРазбор задачи ММ138 подготовил Владимир Лецко