Задачка из оснований квантовой физики

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1736527 писал(а):

Это вероятность перехода после определённой истории.

Пора писать формулы.

warlock66613
Я вам предлагаю записать вывод в стандартной терминологии теорвера и показать то место, где она перестаёт быть применимой.

[warlock66613]

realeugene в сообщении #1736526 писал(а):

По определению условной вероятности.

Так обычно обходятся как раз без условной вероятности.

-- добавлено через 32 секунды --

realeugene в сообщении #1736528 писал(а):

Я вам предлагаю записать вывод в стандартной терминологии теорвера и показать то место, где она перестаёт быть применимой.

Нигде не перестаёт. Это всё самый обычный теорвер.

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1736529 писал(а):

Так обычно обходятся как раз без условной вероятности.

Если есть совместное вероятностное пространство - тогда есть и условная вероятность. Зачем обходиться?

-- добавлено через 46 секунд --

warlock66613 в сообщении #1736529 писал(а):

Нигде не перестаёт. Это всё самый обычный теорвер.

Тогда простите нафига вся эта нестандартная терминология?

[warlock66613]

realeugene в сообщении #1736530 писал(а):

Зачем обходиться?

Низачем, просто она оказывается не нужна.

-- добавлено через 2 минуты --

realeugene в сообщении #1736530 писал(а):

огда простите нафига вся эта нестандартная терминология?

Потому что я не знаю как сформулировать это иначе. Я сформулировал так прямолинейно как только мог. Конкретные советы как переформулировать тоже приветствуются. "В стандартной терминологии" слишком общий совет.

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1736531 писал(а):

Низачем, просто она оказывается не нужна.

Вы специально пытаетесь всех запутать нестандартной математической терминологией? Всё-таки у большинства уже наработана интуиция на решении задач теорвера. Стандартная терминология помогает её использовать.

[warlock66613]

realeugene в сообщении #1736528 писал(а):

Пора писать формулы.

Реализация для каждого немаксимального момента времени $t$ задаёт функцию
\begin{align*} P^{\text{jump}}: (\mathcal H, \mathcal C) &\to [0, 1] \\ (h, c) &\mapsto P^{\text{jump}}(c | h) \end{align*}$P^{\text{jump}}(c | h)$ — это вероятность перехода в состояние $c$ при условии истории $h$.

Траектория — это набор состояний для некоторого начального отрезка моментов времени. Вероятность траектории — произведение вероятностей всех переходов между последовательными состояниями. Например, траектория $0 \to 1 \to 2 \to 0$ состоит из трёх переходов $0 \to 1$, $1 \to 2$, $2 \to 0$. Сначала идёт переход в состояние $1$ при условии истории $0$. Потом в состояние $2$ при условии истории $0, 1$. Потом в состояние $0$ при условии истории $0, 1, 2$.

-- добавлено через 3 минуты --

realeugene в сообщении #1736532 писал(а):

Вы специально пытаетесь всех запутать нестандартной математической терминологией?

Я не знаю как сформулировать это "стандартной терминологией". Конкретные советы приветствуются. Я видел, как опытные люди в препринте сформулировали стандартной и налажали.

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1736533 писал(а):

Я не знаю как сформулировать это "стандартной терминологией".

Взять определение дискретной марковской цепи и сказать, что пусть теперь условие марковости не выполняется в каких-то точках?

[warlock66613]

realeugene, я подумаю, мысль интересная. Хотя я не вполне понимаю зачем нужно связываться со случайными величинами, когда можно без них.

[warlock66613]

Всё-таки у меня не получается даже со всеми правками получить непатологическое определение процесса для подсистемы. Так что пока я не решу эту проблему задача снимается с повестки.

[warlock66613]

Я вернулся с обновлённой простынёй. Я постарался учесть замечания, постарался приблизиться к стандартным понятиям. Впрочем, получилось так себе. Также я взял в помощь хорошую платную ИИшку. Кое с чем она помогла.

Определение 1. Матрица вещественных чисел $A$ называется стохастической, если все её элементы принадлежат отрезку $[0,1]$ и все столбцы суммируются в единицу:

$$ A_{ij} \in [0, 1],\quad\sum_i A_{ij} = 1. $$

Определение 2. Распределением на конечном множестве $X$ называется функция $f: X \to [0, 1]$, сумма всех значений которой равна единице:

$$ \sum_{x \in X} f(x) = 1. $$

Пусть $T = \{t_0 < t_1 < \ldots < t_n \}$, $n \ge 1$ -- конечное линейно упорядоченное множество, элементы которого мы будем называть моментами (времени) или точками, а $C$ — конечное непустое множество, элементы которого мы назовём конфигурациями или состояниями.

Любой момент $t_k$ при $k < n$ будем называть немаксимальным, а $t_{k+1}$ — следующим за ним.

Определение 3. Траекторией момента $t \in T$ называется функция

$$ h: \{s \in T \mid s \le t \} \to C. $$

Множество всех траекторий момента $t$ обозначим $H(t)$. Траектории максимального момента $t_n$ будем называть полными, их множество -- $H := H(t_n) = C^T$.

Для траектории $h$ момента $t$ и $s \le t$ через $h[\le s]$ обозначим её сужение на $\{r \in T \mid r \le s \}$. Это траектория момента $s$. Траектория $h'$ момента $t'$ продолжает траекторию $h$ момента $t \le t'$, если $h'[\le t] = h$. Обозначение: $h' \sqsupseteq h$. Для немаксимального $t \in T$, $h \in H(t)$ и $c \in C$ через $h \cdot c$ обозначим продолжение $h$ значением $c$ в следующий за $t$ момент. Для траектории $h$ момента $t$ и $s \le t$ через $h[\ge s]$ обозначим сужение $h$ на $\{r \in T \mid s \le r \le t \}$.

Определение 4. Немарковской цепью называется вероятностная мера на множестве полных траекторий, то есть функция $\mu: H \to [0, 1]$, $\sum_{x \in H} \mu(x) = 1$.

Для траектории $h \in H(t)$ положим $\mu(h) := \sum_{x \in H,\, x \sqsupseteq h} \mu(x)$. Это мера множества полных траекторий, продолжающих $h$. Для полной траектории это обозначение совпадает со значением $\mu$.

Определение 5. Траектория $h$ называется реализуемой (для $\mu$), если $\mu(h) \ne 0$, и нереализуемой в противном случае.

Определение 6. Пусть $t$ -- немаксимальный момент, $t'$ -- следующий за ним, а $h \in H(t)$ реализуема. Вероятностью перехода в конфигурацию $c$ после траектории $h$ называется $P_{\mu,\, t'}(c \mid h) := \mu(h \cdot c) / \mu(h)$.

Определение 7. Для $t \in T$ распределением цепи $\mu$ в момент $t$ называется функция
\begin{align*} P_{\mu,\, t} : C &\to [0, 1], \\ c &\mapsto \sum_{x \in H,\, x(t) = c} \mu(x). \end{align*}

Определение 8. Обобщённым стохастическим процессом $\mu$ на $A$, где $\varnothing \ne A \subseteq C$ называется функция, сопоставляющая каждой конфигурации $c \in A$ немарковскую цепь $\mu_c$, которая начинается в конфигурации $c$: $P_{\mu_c,\, t_0}(c) = 1$.

Определение 9. Траекторию $h$ будем называть реализуемой для процесса $\mu$ на $A$, если она реализуема для цепи $\mu_{h(t_0)}$. Если $h(t_0) \notin A$, траектория считается нереализуемой.

Определение 10. Матрицами перехода процесса $\mu$ на $A$ называются матрицы $|C| \times |A|$

$$ \Gamma_{ba}(t \leftarrow t_0) := P_{\mu_a,\, t}(b), $$

где $t \in T$.

Нетрудно заметить, что матрицы перехода являются стохастическими.

Определение 11. Пусть $\mu$ -- обобщённый стохастический процесс, $t$ -- немаксимальный момент, $t'$~--- следующий за ним, а $h \in H(t)$ -- траектория, реализуемая для $\mu$. Вероятностью перехода процесса $\mu$ в конфигурацию $c$ после траектории $h$ называется соответствующая вероятность перехода для цепи $\mu_{h(t_0)}$:

$$ P_{t'}(c \mid h) := P_{\mu_{h(t_0)},\,t'}(c \mid h). $$

Определение 12. Процесс $\mu$ называется делимым в точке $s \in T$, если существуют стохастические матрицы $\Gamma(t \leftarrow s)$ размера $|C| \times |C|$, $t \in T$, $t > s$, такие что

$$ \Gamma(t \leftarrow t_0) = \Gamma(t \leftarrow s) \Gamma(s \leftarrow t_0). $$

Определение 13. Процесс $\mu$ называется марковским в точке $s \in T$, если выполнено следующее. Возьмём любой немаксимальный момент $t \ge s$, за которым следует $t'$, и любые две траектории $h,\, h' \in H(t)$, реализуемые для $\mu$, с $h[\ge s] = h'[\ge s]$. Тогда для любой $c \in C$

$$ P_{t'}(c \mid h) = P_{t'}(c \mid h'). $$

Теорема. Если процесс марковский в некоторой точке, то он делим в ней. Обратное неверно: существуют процессы, делимые в точке, но не марковские в ней.

Доказательство тривиально следует из хорошо известных результатов (вот это я не проверял, верю ИИшке).

Это, как я уже говорил, корень проблемы: есть важные, ключевые результаты, которые получены исходя из предположения, что если процесс делим, то он марков.

Попробуем исправить проблему.

Определение 14. Обобщённый стохастический процесс называется предсказуемым, если он марков в каждой точке, в которой он делим.

Может показаться, что если рассматривать только предсказуемые процессы, то это решит проблему. К сожалению это не так, поскольку кроме точек делимости самого процесса, описывающего поведение некоторой системы, важнейшую роль играют точки делимости в подсистемах этой системы.

Определение 15. Конфигурация $c$ называется достижимой в момент $s$ для процесса $\mu$, если существует реализуемая для $\mu$ траектория $h \in H(s)$ с $h(s) = c$.

Достижимость $c$ равносильна тому, что $\Gamma_{ca}(s \leftarrow t_0) \ne 0$ хотя бы для одного $a \in A$. Множество достижимых в момент $s$ конфигураций обозначим $C_s(\mu)$.

Ряд предыдущих определений зависит от пары $(T, C)$. Далее они применяются и к другим парам $(T', C')$, которые указываются явно.

Для немаксимального $s \in T$ положим $T[\ge s] := \{t \in T \mid t \ge s \}$. Для пары $(T[\ge s], C')$ роль момента $t_0$ играет $s$.
В частности, траектория момента $t$ для $T[\ge s]$ -- это функция на $\{ r \in T \mid s \le r \le t \}$. Например, если $h$ -- траектория $t$, $h[\ge s]$ -- траектория $t$ для $T[\ge s]$.

Пусть $h \in H(s)$, а $y$ -- полная траектория для $(T[\ge s], C)$, причём $y(s) = h(s)$. Склейкой $h * y$ назовём полную траекторию для $(T, C)$, которая совпадает с $h$ на моментах $\le s$ и с $y$ на моментах $\ge s$.

Определение 16. Пусть процесс $\mu$ на $A$ марковский в немаксимальной точке $s$. Хвостом процесса $\mu$ в точке $s$ называется процесс $\mu[\ge s]$ на $C_s(\mu)$ для пары $(T[\ge s], C)$. Для $c \in C_s(\mu)$ он задаётся так. Выберем любую реализуемую $h \in H(s)$ с $h(s) = c$ и положим
\begin{align*} \mu[\ge s]_c(y) &:= \mu_{h(t_0)}(h * y) / \mu_{h(t_0)}(h),\quad \text{если }y(s) = c, \\ \mu[\ge s]_c(y) &:= 0\quad \text{в противном случае}. \end{align*}
(Нетрудно видеть, что благодаря марковости в $s$ это определение корректно, то есть не зависит от конкретного выбора $h$.)

Матрицы перехода хвоста обозначим $\Gamma(t \leftarrow s)$. Это матрицы размера $|C| \times |C_s(\mu)|$. Они удовлетворяют требованиям, предъявляемым к матрицам $\Gamma(t \leftarrow s)$ из определения 12, если дополнить их произвольными столбцами до размера $|C| \times |C|$ так чтобы матрица осталась стохастической.

Определение 17. Декартовым разложением называется биекция $\varphi: C \to C_1 \times C_2$, где $C_1$, $C_2$ -- конечные непустые множества. Элементы $C_1$ называются конфигурациями (состояниями) подсистемы, элементы $C_2$ -- конфигурациями (состояниями) окружения.

Определение 18. Переносом процесса $\mu$ на $A$ вдоль декартового разложения $\varphi$ называется процесс $\varphi[\mu]$ на $\varphi(A)$ для пары $(T, C_1 \times C_2)$, заданный формулой

$$ \varphi[\mu]_{\varphi(c)}(\varphi \circ x) := \mu_c(x). $$

Для траектории $z$ через $\pi_1 \circ z$ обозначим траекторию подсистемы: $(\pi_1 \circ z)(t)$ -- первая компонента $z(t)$.

Определение 19. Пусть $\mu$ -- немарковская цепь для пары $(T', C_1 \times C_2)$. Её проекцией на подсистему называется немарковская цепь для пары $(T', C_1)$:

$$ \pi_1[\mu](y) := \sum_{z: \pi_1 \circ z = y} \mu(z). $$

Определение 20. Распределением окружения называется распределение на $C_2$.

Определение 21. Пусть процесс $\mu$ на $A$ для пары $(T, C_1 \times C_2)$ марковский в немаксимальной точке $s$, а $q$ -- распределение окружения. Положим

$$ A_q := \{a \in C_1 \mid (\forall e \in C_2) q(e) \ne 0 \Rightarrow (a, e) \in C_s(\mu) \} $$

и предположим, что $A_q \ne \varnothing$. Тогда редуцированным процессом подсистемы в точке $s$ при распределении окружения $q$ называется процесс $\mu[\ge s]/q$ на $A_q$ для пары $(T[\ge s], C_1)$:

$$ (\mu[\ge s]/q)_a := \pi_1[\sum_{e \in C_2, q(e) \ne 0} q(e) \mu[\ge s]_{(a,e)}]. $$

Определение 22. Процесс называется полностью предсказуемым, если он предсказуем и для любой немаксимольной точки $s$, в которой процесс марковский, для любого декартового разложения $\varphi$ для любого распределения окружения $q$, порождающего редуцированный процесс подсистемы $ \varphi[\mu][\ge s]/q$, это процесс предсказуем.

К сожалению, даже полностью предсказуемый процесс не обладает нужным свойством. Дело в том, что точки делимости, индуцированные окружением, на самом деле не точные, а приблизительные. То есть строго говоря точками делимости они не являются, а значит никакого дополнительного условия не влекут.

Поэтому нужное определение должно звучать примерно следующим образом.

Прототип определения. Обобщённый стохастический процесс называется абсолютно предсказуемым, если он приблизительно марков в любой точке, где он приблизительно делим, и для любой немаксимальной точки $s$, в которой процесс приблизительно марков, для любого декартового разложения $\varphi$ для любого распределения окружения $q$, порождающего редуцированный процесс подсистемы $ \varphi[\mu][\ge s]/q$, этот процесс приблизительно марков в любой точке, где он приблизительно делим.

Задача заключается в том, чтобы превратить это определение в полноценное математическое определение и доказать, что для любого набора матриц перехода существует абсолютно предсказуемый процесс.