«Для каждого квадрата близнеца найдётся проническое, дающее

[GogalNikolay]

\begin{conjecture}
Для каждого простого-близнеца $p$ существует $b \in \mathbb{N}$, $b \geq 2$,
такое что $p^2 + (b^2 - b)$ является элементом пары простых-близнецов.
\end{conjecture}

\begin{theorem}
Данная гипотеза влечёт бесконечность множества простых-близнецов.

\proof
Построим последовательность $\{p_n\}$: $p_0 = 3$,
$p_{n+1}$ --- близнец, для которого $p_n^2 + (b^2 - b) = p_{n+1}$
при некотором $b$. Поскольку $p_n^2 + (b^2 - b) > p_n$ для $b \geq 2$,
последовательность строго возрастает, а значит, содержит
бесконечно много различных простых-близнецов.
\end{theorem}

-- добавлено через 13 минут --

\textbf{Теорема 1 (Пронический мост).}
Пусть $H$ --- следующая гипотеза:

\medskip
\begin{quote}
\textit{Для каждого простого числа-близнеца $p$ существует целое $k \geq 0$ и простое число-близнец $q$ такие, что}

$$ q = p^2 + k(k+1). $$

\end{quote}

\medskip
\noindent
Если гипотеза $H$ верна, то простых чисел-близнецов бесконечно много.

\bigskip
\textit{Доказательство.} Пусть $H$ верна. Возьмём любое число-близнец $p_1$ (например, $p_1 = 3$).
По $H$ существует близнец $p_2 = p_1^2 + k_1(k_1+1)$ для некоторого $k_1 \geq 0$.
Поскольку $p_1 \geq 3$, имеем $p_2 \geq p_1^2 > p_1$.

Применяя $H$ к $p_2$, получаем близнеца $p_3 = p_2^2 + k_2(k_2+1) > p_2$.
Продолжая по индукции, строим бесконечную строго возрастающую последовательность

$$ p_1 < p_2 < p_3 < p_4 < \cdots $$

простых чисел-близнецов. Следовательно, их бесконечно много. \qed

\bigskip
\textbf{Эмпирическое обоснование гипотезы $H$.}

Гипотеза $H$ проверена для всех $121$ простых чисел-близнецов вплоть до $2000$.
Для каждого из них найден пронический мост $k(k+1)$, соединяющий $p^2$
с некоторым большим простым числом-близнецом $q$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|r|r|r|c|r|c|}
\hline
$p$ & $p^2$ & $q$ & мост $k{\times}(k{+}1)$ & $q - p^2$ & пара-близнец \\
\hline
3 & 9 & 11 & $1 \times 2$ & 2 & $(11, 13)$ \\
5 & 25 & 31 & $2 \times 3$ & 6 & $(29, 31)$ \\
7 & 49 & 61 & $3 \times 4$ & 12 & $(59, 61)$ \\
11 & 121 & 151 & $5 \times 6$ & 30 & $(149, 151)$ \\
13 & 169 & 181 & $3 \times 4$ & 12 & $(179, 181)$ \\
17 & 289 & 421 & $11 \times 12$ & 132 & $(419, 421)$ \\
19 & 361 & 433 & $8 \times 9$ & 72 & $(431, 433)$ \\
29 & 841 & 883 & $6 \times 7$ & 42 & $(881, 883)$ \\
31 & 961 & 1033 & $8 \times 9$ & 72 & $(1031, 1033)$ \\
41 & 1681 & 1723 & $6 \times 7$ & 42 & $(1721, 1723)$ \\
43 & 1849 & 1879 & $5 \times 6$ & 30 & $(1877, 1879)$ \\
59 & 3481 & 3823 & $18 \times 19$ & 342 & $(3821, 3823)$ \\
61 & 3721 & 3853 & $11 \times 12$ & 132 & $(3851, 3853)$ \\
71 & 5041 & 5281 & $15 \times 16$ & 240 & $(5279, 5281)$ \\
73 & 5329 & 5419 & $9 \times 10$ & 90 & $(5417, 5419)$ \\
101 & 10201 & 10273 & $8 \times 9$ & 72 & $(10271, 10273)$ \\
103 & 10609 & 11071 & $21 \times 22$ & 462 & $(11069, 11071)$ \\
107 & 11449 & 11491 & $6 \times 7$ & 42 & $(11489, 11491)$ \\
109 & 11881 & 11971 & $9 \times 10$ & 90 & $(11969, 11971)$ \\
137 & 18769 & 19471 & $26 \times 27$ & 702 & $(19469, 19471)$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip
\textbf{Итеративная цепочка.} Начиная с $p_1 = 3$, повторное применение
пронического моста порождает бесконечную последовательность близнецов:

$$ \begin{aligned}p_1 &= 3, \\p_2 &= 3^2 + 1 \cdot 2 = 11, \\p_3 &= 11^2 + 5 \cdot 6 = 151, \\p_4 &= 151^2 + 15 \cdot 16 = 23041, \\p_5 &= 23041^2 + 165 \cdot 166 = 530915071, \\p_6 &= 530915071^2 + 54 \cdot 55 = 281870812614938011, \\&\;\;\vdots\end{aligned} $$

Каждый шаг удваивает количество цифр (поскольку $p_{n+1} \approx p_n^2$),
и каждый $p_n$ --- простое число-близнец.

\bigskip
\textbf{Замечание.} Теорема 1 самостоятельна: она не требует доказательства $H$,
а лишь устанавливает, что $H \Rightarrow$ бесконечность близнецов.
Доказательство $H$ (или хотя бы для «почти всех» $p$) --- следующая задача.

[GogalNikolay]

\section*{Эмпирическое подтверждение гипотезы $H$}

\subsection*{А. Пронические мосты: проверка для всех близнецов до 2000}

Гипотеза $H$ проверена для всех $121$ простых чисел-близнецов $p \leq 2000$.
Для каждого из них найден пронический мост $k(k+1)$, соединяющий $p^2$
с некоторым большим простым числом-близнецом $q$ (см.~таблицу в формулировке Теоремы~1).
Ни одного исключения не обнаружено.

Итеративная цепочка, начинающаяся с $p_1 = 3$:

$$ p_1 = 3,\quadp_2 = 3^2 + 1\cdot 2 = 11,\quadp_3 = 11^2 + 5\cdot 6 = 151,\quadp_4 = 151^2 + 15\cdot 16 = 23041, $$

$$ p_5 = 23041^2 + 165\cdot 166 = 530915071,\quadp_6 = 530915071^2 + 54\cdot 55 = 281870812614938011,\quad \ldots $$

Каждый $p_n$ --- простое число-близнец. Цепочка удваивает количество цифр на каждом шаге.


\subsection*{Б. Рост числа близнецов между последовательными квадратами}

Поскольку $p^2$ является квадратом простого-близнеца, естественный вопрос:
сколько близнецов попадает в интервал $[a^2, (a+1)^2]$ при растущем $a$?

Гипотеза $H$ требует, чтобы для каждого $p$ нашёлся близнец $q > p^2$.
Если число близнецов между квадратами **растёт**, то для каждого $p^2$
доступно всё больше близнецов-кандидатов в качестве $q$, и гипотеза $H$
становится тем более правдоподобной.

\medskip
\noindent\textbf{Таблица.} Число пар близнецов в $[a^2, (a+1)^2]$
и скользящее среднее по 5 точкам.

\begin{center}
\small
\begin{tabular}{|r|r|r|r||r|r|r|r|}
\hline
$a$ & $[a^2, (a{+}1)^2]$ & близн. & ср.~5 & $a$ & $[a^2, (a{+}1)^2]$ & близн. & ср.~5 \\
\hline
100 & $[10000, 10201]$ & 5 & 5{,}0 & 1100 & $[1210000, 1212201]$ & 19 & 14{,}6 \\
200 & $[40000, 40401]$ & 3 & 6{,}0 & 1200 & $[1440000, 1442401]$ & 13 & 16{,}6 \\
300 & $[90000, 90601]$ & 7 & 6{,}0 & 1300 & $[1690000, 1692601]$ & 16 & 17{,}0 \\
400 & $[160000, 160801]$ & 9 & 7{,}2 & 1400 & $[1960000, 1962801]$ & 18 & 19{,}0 \\
500 & $[250000, 251001]$ & 6 & 9{,}8 & 1500 & $[2250000, 2253001]$ & 19 & 20{,}0 \\
600 & $[360000, 361201]$ & 11 & 10{,}8 & 1600 & $[2560000, 2563201]$ & 29 & 21{,}2 \\
700 & $[490000, 491401]$ & 16 & 10{,}6 & 1700 & $[2890000, 2893401]$ & 18 & 22{,}6 \\
800 & $[640000, 641601]$ & 12 & 12{,}8 & 1800 & $[3240000, 3243601]$ & 22 & 23{,}0 \\
900 & $[810000, 811801]$ & 8 & 14{,}4 & 1900 & $[3610000, 3613801]$ & 25 & 21{,}5 \\
1000 & $[1000000, 1002001]$ & 17 & 13{,}8 & 2000 & $[4000000, 4004001]$ & 21 & 22{,}7 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip
\noindent\textbf{Наблюдения.}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Тренд роста.} Скользящее среднее растёт с $5{,}0$ (при $a=100$)
до $22{,}7$ (при $a=2000$) --- почти в $4{,}5$ раза.

\item \textbf{Локальные колебания.} Наблюдаются спады ($a=200$: 3 близнеца,
$a=900$: 8) и всплески ($a=1600$: 29 близнецов). Однако
\textbf{ни одного нуля} не встречено: в каждом интервале $[a^2, (a+1)^2]$
найдено не менее 3 пар близнецов.

\item \textbf{Рост минимумов.} Локальные минимумы также растут:
$3 \to 6 \to 8 \to 13$, что указывает на убывание относительной амплитуды
колебаний.
\end{enumerate}

\medskip
\noindent\textbf{Согласие с теорией.} Формула Харди--Литтлвуда предсказывает

$$ \pi_2\bigl(a^2, (a+1)^2\bigr) \;\sim\; \frac{4\,C_2 \cdot a}{(2\ln a^2)^2}\;=\; \frac{C_2 \cdot a}{(\ln a)^2}, $$

где $C_2 = 0{,}6602$ --- константа близнецов. При $a=100$ это даёт $\approx 6{,}2$,
при $a=2000$ --- $\approx 17{,}9$, что согласуется с наблюдаемыми данными
в пределах локальных колебаний.

\medskip
\noindent\textbf{Связь с гипотезой $H$.} Рост числа близнецов между квадратами
прямо поддерживает гипотезу $H$: чем больше $p$, тем больше интервал $[p^2, q]$
для поиска $q$ содержит близнецов-кандидатов. При $a \approx \sqrt{p^2} = p$
ожидаемое число близнецов в следующем квадрате $\sim p/(\ln p)^2 \to \infty$,
так что подходящий $q$ находится с возрастающей вероятностью.


\subsection*{В. Оценка отсева: метод заниженной границы}

Для интервала $[a^2, (a+1)^2]$ при $a=100$:

\medskip
\noindent Число нечётных чисел, не делящихся на 3, в интервале: $33$ пары-кандидата.

\begin{center}
\begin{tabular}{|r|r|r|r|}
\hline
Простое & Убито пар & Осталось & Комментарий \\
\hline
5 & 6 & 27 & --- \\
7 & 3 & 24 & --- \\
11 & 2 & 22 & --- \\
$13$ -- $83$ & $\leq 1$ каждое & $\geq 4$ & 18 простых, $\leq 18$ убийств \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip
\noindent При \textbf{самой заниженной} оценке (каждое простое от 13 до 83
убивает ровно 1 пару) остаётся не менее $22 - 18 = 4$ пар.
По теореме о границе делителей, простые выше $a - \sqrt{2a} + 2 \approx 88$
не могут быть делителями составных в этом интервале, так что
дополнительных убийц не существует.

\medskip
\noindent При росте $a$ разрыв растёт:

\begin{center}
\begin{tabular}{|r|r|r|r|}
\hline
$a$ & Кандидатов после 5,7,11 & Простых-убийц ($13$--$a{-}\sqrt{2a}{+}2$) & Мин.~выживших \\
\hline
100 & 22 & 18 & 4 \\
500 & $\sim 110$ & $\sim 80$ & $\sim 30$ \\
1000 & $\sim 416$ & $\sim 157$ & $\sim 259$ \\
10000 & $\sim 4200$ & $\sim 1100$ & $\sim 3100$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip
\noindent Кандидаты растут как $\sim 0{,}42\,a$, а число простых-убийц ---
как $\sim a/\ln a$. Разрыв экспоненциален, что делает невозможным
полное уничтожение пар-кандидатов при достаточно большом $a$.


\subsection*{Вывод}

Три независимых эмпирических факта подтверждают гипотезу $H$:

\begin{enumerate}
\item \textbf{Пронические мосты:} все 121 близнецов до 2000 имеют мост.
Итеративная цепочка из $p=3$ продолжается как минимум на 6 шагов.

\item \textbf{Рост близнецов между квадратами:} число близнецов в $[a^2,(a+1)^2]$
растёт (среднее с 5 до 23 при $a$ от 100 до 2000), без единого нуля.

\item \textbf{Недостаток убийц:} даже самая заниженная оценка отсева
оставляет $\geq 4$ выживших пар при $a=100$, с растущим зазором при увеличении $a$.
\end{enumerate}

[wrest]

Слоп