Метрика в пространстве и изометрические пространства.

[Igor Lukyanov]

Здравствуйте. Я относительно недавно начал изучать функциональный анализ. Я изучаю его по книге М. Рид, Б. Саймон "Методы современной математической физики". Первое с чем я столкнулся, это понятие метрики на множестве, метрического пространства, а также прочие другие понятия, такие как плотное пространство, изометрические пространства, а также предел последовательности точек метрического пространства, который как раз-таки и формулируется с помощью метрики. Так вот теперь сам вопрос. Понятие метрики, почему оно удовлетворяет именно тем аксиомам, которые были там собственно перечислены? Симметрия, неравенство треугольника и то, что данная функция всегда больше либо равна нулю. Я предполагаю, что это очевидно как-то связано с свойствами нашего мира и физики, но каким именно образом? И ещё вопрос, что будет если изменить данные аксиомы? Скажем, если отменить неравенство треугольника. Какие тогда вещи будут происходить в нашем новом таком пространстве с отменой такого базового свойства?

[Sasha-amalgama]

Отвечу в порядке написанного.
1) Я не знаю наверняка как исторически пришли к такому определению. Но обычно история такая:
Сначала известен хороший математический объект. Например $\mathbb{R}^n$ - набор вещественных чисел с функцией расстояния $d(x,y) = |y-x| $. Потом возникают вопросы на вроде: "Можно ли построить другие похожие функции?", "Можно ли измерять расстояние между словами, графами и вообще на произвольных множествах?" и так далее. Чтобы ответить на это нужно иметь критерий считать функцию вида $f: M\times M \to R$ метрической. Если выбрать слишком много условий, то будет сложно переносить это на произвольные множества. Если слишком мало, то получается мало содержательных выводов об объекте.

2) Теперь по поводу изменения аксиом. Да такие штуки тоже изучаются: всяческие псевдо-, квази- и так далее метрики. Насчёт неравенства треугольника я не подскажу, но знаю другой очень частый пример. Можно отказаться от положительной определённости и получить песевдометрику (и в частности псевдоевклидовые пространства, если подучать метрику из соответствующего скалярного произведения). В таких пространствах возникают пары точек с нулевым расстоянием, повороты заменяются на гиперболические. Это можно встретить и в физике в СТО: светоподобные интервалы и бусты Лоренца соответственно.

[Someone]

Igor Lukyanov в сообщении #1731466 писал(а):

Понятие метрики, почему оно удовлетворяет именно тем аксиомам, которые были там собственно перечислены?

По определению. А определение, естественно, сформулировано так, чтобы метрика могла быть моделью измерений расстояний в реальном мире.

Igor Lukyanov в сообщении #1731466 писал(а):

Симметрия, неравенство треугольника и то, что данная функция всегда больше либо равна нулю.

Пропущено условие "расстояние равно нулю тогда и только тогда, когда точки совпадают". Без этого получается псевдометрика (или полуметрика).

[Sasha-amalgama]

Добалю ещё в ответ на: Почему остановились именно на трёх свойствах?
Их достаточно (и иногда необходимо) чтобы построить мосты с другими объектами. Например в начале я привёл пример метрики заданной через модуль вектора (т.е. норму), а она связана с скалярным произведением: $d(x,y) = ||x-y|| = \sqrt{(x-y,x-y)}$. Поэтому говорят: скалярное произведение порождает метрику.
Или другой пример, если мы определим $\epsilon$-окрестности как $B(\epsilon, x) = {y: d(x,y)< \epsilon}$, то можно получить из них топологию.

P.S. Для первичного осмотра можно взглянуть в анг. вики https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_space. Там можно встретить много всяческих как и обобщений (убирание аксиом), так и сужения (добавление требований) определения.

[пианист]

Igor Lukyanov в сообщении #1731466 писал(а):

Скажем, если отменить неравенство треугольника. Какие тогда вещи будут происходить в нашем новом таком пространстве с отменой такого базового свойства?

Такое понятие будет слишком рыхлым: ничто не мешает принимать значения отдельных "расстояний" почти произвольным образом, строить сходящиеся, и при этом неограниченные последовательности и тому подобные патологии.

(Оффтоп)

Имхо интереснее не отменить, а усилить аксиому треугольника: ультраметрические пространства, в ч. p-адические числа.

[Евгений Машеров]

Как обобщение понятия расстояния.
Карлсон летит напрямую, для него $d_c(A,B)=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$
Малыш летать не умеет, он идёт по перпендикулярным улицам, $d_m(A,B)=|x_A-x_B|+|y_A-y_B|$
Шахматный король (из "Алисы в Стране Чудес") ходит на клетку по вертикали, горизонтали или диагонали $d_k(A,B)=\max(|x_A-x_B|, |y_A-y_B|)}$
А Гарри Поттер разок махнул палочкой и на месте
$d_h(A,B)=\begin{cases} 1, &A \ne B \\ 0, &A=B\\ \end{cases}$
Хочется чего-то общего. И естественно предположить, что если никуда не идём - то расстояние нулевое, а если идём, то больше нуля, что путь в обоих направлениях одинаков, и что напрямик не дальше, чем в обход. Это и есть аксиомы метрики, которым удовлетворяют все названные и многие иные расстояния.
Частично отменить их можно, но тогда теряются некоторые общие выводы, сделанные для метрик, полностью удовлетворяющих аксиомам.
А что до вопроса, что произойдёт в реальном мире при отмене аксиом метрики - ответ прост. Ничего. Мир не зависит от того, что мы о нём думаем. Просто мы себе работу усложним (но если найдём нечто реальное, где имеют смысл "расстояния" с другой системой аксиом, то и упростим - если правильно поняли это "реальное"; скажем, расстояния в городе с односторонним движением не обязаны быть симметричными, если "расстояния" это стоимости перевода из одного состояния в другое - то может быть и ненулевое расстояние между одинаковыми точками, расход на поддержание, и отрицательное расстояние - из металлолома сделать завод дорого, а если сдать завод на металлолом, можно денежку выручить). Но первичны свойства изучаемого мира, под которые мы выбираем аксиомы.

[Anton_Peplov]

Igor Lukyanov
Три аксиомы, задающие метрику, очень важны для нашего интуитивного понимания пространства.

1. Расстояние между различными точками больше нуля, между совпадающими - равно нулю. Очень интуитивно: чтобы попасть в другую точку, надо преодолеть хоть какое-то расстояние. Тем не менее есть обобщение метрики, где такого требования нет. Оно называется псевдо- или полуметрикой. В псевдометрическом пространстве расстояние между двумя различными точками может быть равно нулю. В таких пространствах возникают всякие странности. Например, не выполняется фундаментальное требование, в топологии известное как нулевая аксиома отделимости (аксиома Колмогорова): для всяких двух различных точек хотя бы одна имеет окрестность, не содержащую другую точку. Как следствие, сходящаяся последовательность может иметь несколько пределов, и прочие патологии.

2. Расстояние от $x$ до $y$ такое же, как и от $y$ до $x$. Есть такой анекдот:

Цитата:

- Чему равна длина этого крокодила?
- От носа до хвоста - пять метров. А от хвоста до носа - два метра.
...

Вы же понимаете, почему это смешно? Вот чтобы не возникало таких анекдотических ситуаций, и нужна эта аксиома. Однако у анекдота есть продолжение:

Цитата:

...
- Да разве же так может быть?
- Конечно, может! Вот смотрите: от понедельника до пятницы пять дней, а от пятницы до понедельника - два дня..."

Ситуации, когда "от понедельника до пятницы" и "от пятницы до понедельника" - разные вещи, тоже нужно математически описывать. Для этого есть обобщение метрики - асимметрика. Определение ассиметрики как раз и получается, если из определения метрики выкинуть пункт $\rho(x, y) = \rho(y, x)$.

3. Неравенство треугольника. Это самое неочевидное свойство метрики, но без него ломается очень многое. Например, такое красивое свойство: $\rho(x, y)$ есть непрерывная функция переменных $x, y$. Или критерий Коши для сходимости последовательностей. По сути, главное сказал пианист: без неравенства треугольника любую неотрицательную симметричную функцию можно назвать расстоянием. От функции, которую можно задать почти как угодно, нельзя ожидать хороших свойств.

Почему в определении метрики оставили именно эти три аксиомы? По принципу "хорошее определение - это не то, в которое нечего добавить, а то, из которого нечего выкинуть". Метрика в $\mathbb R^n$ обладает еще многими красивыми и полезными свойствами, например, симметрией сдвига: $\rho(x, y) = \rho(x + z, y + z)$ (если одинаково сдвинуть две точки, расстояние между ними не изменится). В определение метрики это не включили, имхо прежде всего потому, что метрику можно определить и на пространствах, где вообще не определен сдвиг.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: учебный вопрос.

[dsge]

Igor Lukyanov в сообщении #1731466 писал(а):

Я относительно недавно начал изучать функциональный анализ. Я изучаю его по книге М. Рид, Б. Саймон "Методы современной математической физики".

Это не очень хорошая идея начинать изучать функциональный анализ по Риду-Саймону. Авторы этой книги предполагают, что читатель уже знаком с функцианальным анализом и начальные главы 1-го тома там даны как краткий обзор результатов функ.ана, необходимых для дальнейшего чтения.
Для первоначального изучения возьмите нормальный учебник функцианального анализа, например Колмогорова-Фомина, или "катехизис" от Люстерника-Соболева или их основную книгу.