Метрика в пространстве и изометрические пространства.

[Igor Lukyanov]

Здравствуйте. Я относительно недавно начал изучать функциональный анализ. Я изучаю его по книге М. Рид, Б. Саймон "Методы современной математической физики". Первое с чем я столкнулся, это понятие метрики на множестве, метрического пространства, а также прочие другие понятия, такие как плотное пространство, изометрические пространства, а также предел последовательности точек метрического пространства, который как раз-таки и формулируется с помощью метрики. Так вот теперь сам вопрос. Понятие метрики, почему оно удовлетворяет именно тем аксиомам, которые были там собственно перечислены? Симметрия, неравенство треугольника и то, что данная функция всегда больше либо равна нулю. Я предполагаю, что это очевидно как-то связано с свойствами нашего мира и физики, но каким именно образом? И ещё вопрос, что будет если изменить данные аксиомы? Скажем, если отменить неравенство треугольника. Какие тогда вещи будут происходить в нашем новом таком пространстве с отменой такого базового свойства?

[Sasha-amalgama]

Отвечу в порядке написанного.
1) Я не знаю наверняка как исторически пришли к такому определению. Но обычно история такая:
Сначала известен хороший математический объект. Например $\mathbb{R}^n$ - набор вещественных чисел с функцией расстояния $d(x,y) = |y-x| $. Потом возникают вопросы на вроде: "Можно ли построить другие похожие функции?", "Можно ли измерять расстояние между словами, графами и вообще на произвольных множествах?" и так далее. Чтобы ответить на это нужно иметь критерий считать функцию вида $f: M\times M \to R$ метрической. Если выбрать слишком много условий, то будет сложно переносить это на произвольные множества. Если слишком мало, то получается мало содержательных выводов об объекте.

2) Теперь по поводу изменения аксиом. Да такие штуки тоже изучаются: всяческие псевдо-, квази- и так далее метрики. Насчёт неравенства треугольника я не подскажу, но знаю другой очень частый пример. Можно отказаться от положительной определённости и получить песевдометрику (и в частности псевдоевклидовые пространства, если подучать метрику из соответствующего скалярного произведения). В таких пространствах возникают пары точек с нулевым расстоянием, повороты заменяются на гиперболические. Это можно встретить и в физике в СТО: светоподобные интервалы и бусты Лоренца соответственно.

[Someone]

Igor Lukyanov в сообщении #1731466 писал(а):

Понятие метрики, почему оно удовлетворяет именно тем аксиомам, которые были там собственно перечислены?

По определению. А определение, естественно, сформулировано так, чтобы метрика могла быть моделью измерений расстояний в реальном мире.

Igor Lukyanov в сообщении #1731466 писал(а):

Симметрия, неравенство треугольника и то, что данная функция всегда больше либо равна нулю.

Пропущено условие "расстояние равно нулю тогда и только тогда, когда точки совпадают". Без этого получается псевдометрика (или полуметрика).

[Sasha-amalgama]

Добалю ещё в ответ на: Почему остановились именно на трёх свойствах?
Их достаточно (и иногда необходимо) чтобы построить мосты с другими объектами. Например в начале я привёл пример метрики заданной через модуль вектора (т.е. норму), а она связана с скалярным произведением: $d(x,y) = ||x-y|| = \sqrt{(x-y,x-y)}$. Поэтому говорят: скалярное произведение порождает метрику.
Или другой пример, если мы определим $\epsilon$-окрестности как $B(\epsilon, x) = {y: d(x,y)< \epsilon}$, то можно получить из них топологию.

P.S. Для первичного осмотра можно взглянуть в анг. вики https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_space. Там можно встретить много всяческих как и обобщений (убирание аксиом), так и сужения (добавление требований) определения.

[пианист]

Igor Lukyanov в сообщении #1731466 писал(а):

Скажем, если отменить неравенство треугольника. Какие тогда вещи будут происходить в нашем новом таком пространстве с отменой такого базового свойства?

Такое понятие будет слишком рыхлым: ничто не мешает принимать значения отдельных "расстояний" почти произвольным образом, строить сходящиеся, и при этом неограниченные последовательности и тому подобные патологии.

(Оффтоп)

Имхо интереснее не отменить, а усилить аксиому треугольника: ультраметрические пространства, в ч. p-адические числа.