Как представлять себе пространство-время?

[STR]

Немного сумбурный вопрос, но надеюсь будет понятно. Поясню затруднения. Читал об аналогии пространства-времени (ПВ) с обычным евклидовым пространством в том плане, что на обоих можно задавать разные системы отсчета (СО) и переходить от одной к другой. В евклидовом пространстве сохраняется расстояние между точками, в ПВ - интервал. Но вот евклидовое пространство еще до введения всяких СО я могу предствить себе в виде обычной простыни. На которой я могу затем в любой точке ввести СО такую, что любые две заданные точки могут лежать на оси Х, могут на оси У, могут как угодно. СО я тоже могу вращать как угодно.
А вот в ПВ похоже не так. Во всяком случае, не для любых двух точек (двух событий) можно найти СО такую, чтобы они лежали на оси Х. Или на оси T. И вращать СО тут тоже нельзя как угодно. Но тогда как себе представить ПВ до введения всяких СО? Как "простыню" у которой одно направление отличается по свойствам от другого? Но как говорить о направлениях если не введены СО?

[warlock66613]

Когда вы крутите оси в евклидовом пространстве, они крутятся в одну сторону: обе против часовой или обе по часовой стрелке. Когда оси крутятся в псевдоевклидовом простанстве, нарисованном на обычной бумаге, они крутятся в разные стороны: одна по часовой стрелке, а другая против и наоборот. Если вы представите себе это, вы заметите что при этом диагонали остаются на месте. Это и есть выделенные направления в плоскости $xt$: лучи света, светоподобные линии. Если мы добавим ещё одно пространственное измерение, можно будет заметить, что светоподобные линии образуют конус. Он называется световой конус. Световой конус не привязан к системам координат, он — инвариант. Этот конус делит все направления на лежащие внутри конуса — времениподобные и лежащие вне конуса — пространственноподобные.

Соответственно, если мы проведём линию между двумя точками, она окажется либо пространственноподобной, либо времениподобной, либо светоподобной. Если линия пространственноподобная, можно подобрать координаты так, что точки будут лежать на пространственной оси. Если времениподобная, можно подкрутить координаты так, что точки окажутся на оси времени. Если же точки на светоподобной линии, то не получится ни то, ни другое.

Чтобы понять, какая линия между точками, достаточно подсчитать интервал между ними: $\Delta s^2 = \Delta t ^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2$ (измеряем координаты в световых единицах так что скорость света равна единице). Хотя он считается через координаты, интервал — инвариант, он одинаков для любых координат. Если $\Delta s^2 = 0$, говорят что точки разделены светоподобным интервалом. То есть линия между ними светоподобная. Если $\Delta s^2 > 0$, то говорят, что интервал времениподобен, соответственно линия между точками времениподобна. Ну и если $\Delta s^2 < 0$, то говорят, что интервал пространственноподобен, соответственно линия между точками пространственноподобна.

[epros]

STR в сообщении #1731339 писал(а):

Но тогда как себе представить ПВ до введения всяких СО? Как "простыню" у которой одно направление отличается по свойствам от другого? Но как говорить о направлениях если не введены СО?

Как простыню, у которой задан световой конус. Направления вдоль светового конуса заданы независимо от СО.

[sergey zhukov]

STR
В пространстве-времени даже без всяких координат уже существует причинно-следственная структура. В обычном пространстве этого нет. Причинно-следственная структура определяется световыми конусами. Какие-то события связаны отношением "причина-следствие", какие-то события - не связаны. Это абсолютно и не зависит от СО и СК. Это получается из-за того, что в метрике один знак противоположный. В результате в обычном пространстве место точек, равноудаленных от данной - это сфера, а в пространстве-времени - это гиперболические поверхности, "натянутые" на световой конус. Скажем, в пространстве-времени с двумя пространственными измерениями получается две такие поверхности - одна: двухполостный гиперболоид (внутри конуса, причинно-связанные с данннным события), и одна - однополостный гиперболоид (вне конуса, причинно не связанные с данным события). Сфера не имеет каких-то выделенных направлений, а конус - имеет. Если в обычном пространстве любая линия будет просто линией, то в пространстве-времени она будет еще до введениия любых СК и СО либо времениподобной, либо пространственноподобной, либо изотропной.

В пространстве-времени есть, можно сказать, некоторые естественные "границы временного направления": любая времениподобная мировая линия должна быть всюду "вложена" в свои световые конусы.

[STR]

Спасбо всем за ответы. Дело немного прояснилось.

epros в сообщении #1731366 писал(а):

Как простыню, у которой задан световой конус.

Я думаю, бессмысленно спрашивать про какие-то бытовые аналогии для визуализации, ни с чем подобным мы в жизни не сталкиваемся?

[epros]

STR в сообщении #1731511 писал(а):

бытовые аналогии для визуализации

Хотя бы примерно, о чём речь?

[sergey zhukov]

STR
Да так и представлять, как все это делают: пространство, в котором в каждой точке есть маленький световой конус. Форма и размер этого конуса в каждой точке определяют свойства пространства-времени в этой точке.

С пространством-временем есть как минимум две трудности, которые затрудняют наглядность:

1. Оно четырехмерно, а мы и обычное четырехмерное пространство (а если искривленное - то даже и трехмерное) не умеем визуализировать;
2. Оно псевдоевклидово. Это основная трудность. Время все же значительно отличается от пространства. Хотя их и обьединяют в пространство-время, они отнюдь не однородные его члены. Это значит, что даже плоское пространство-время даже с одним пространственным измерением (подавляющее большинство картинок по СТО именно об этом) все равно выглядит странно: что выглядит на рисунке длинее, то на самом деле короче и т.д. Этого никак нельзя избежать, нужно просто привыкнуть.

[EUgeneUS]

3. А если переходить в ОТО, возникает ещё трудность - оно кривое.
Нет никой сложности представить, визуализировать кривое пространство. Например, поверхность резинового шарика. Но такая визуализация всегда предполагает вложение кривого пространства в евклидово трехмерное. А вот визуализировать кривое пространство само по себе, никуда не вложенным - это большим воображением надо обладать. Нарисовать это невозможно.
Кроме того, время тоже кривое.
(выше "кривое" - синоним "искривленное" )

[sergey zhukov]

Некоторые свойства пространства-времени можно проиллюстрировать на примере сверхзвуковой аэродинамики.
Для начала рассмотрим стационарное дозвуковое обтекание, скажем, крыла:

Это численное решение. Как оно получено? У нас есть система уравнений гидродинамики, для которой нужно задать граничные условия (скорости и давления потока на периметре расчетной области). Потом нужно потребовать (от компьютера, разумеется) найти скорости и давления внутри периметра расчетной области такие, чтобы они удовлетворяли системе уравнений гидродинамики и граничным условиям на периметре. Компьютер ищет решение так: берет какое-то любое начальное значение полей давления и скорости, подставляет его в систему уравнений и находит некоторую суммарную ошибку (неизбежную) этого первого приближения. Далее он делает следующую прикидку и т.д., стараясь уменьшить эту суммарную ошибку. Обычно это ему удается (иногда нет), и он в итоге методом итераций находит решение с произвольно малой ошибкой.
Трудность задачи в том, что для дозвукового потока состояние потока (давление, скорость) в каждой данной точке зависит от состояния потока во всех других его точках. Так получается потому, что в несжимаемой жидкости (а это и есть дозвуковой поток) взаимодействие между пространственно разнесенными точками потока полагается мгновенным (бесконечная скорость звука). В этом потоке нет причины и следствия – все влияет на все в один и тот же момент времени. Требуется найти самосогласованное решение для всех точек потока в одно и то же время. Поэтому компьютер не может решать эту задачу как-то последовательно по пространству (скажем, слева-направо, сверху вниз на этой картинке, по потоку или против и т.д.). Он должен делать это сразу для всей области, используя итеративный метод, без обращения к понятиям “причина/следствие”. Можно сказать, что область дозвукового потока – это “полносвязная область” (каждая точка связана со всеми).
Это иллюстрация дорелятивистских представлений: мир, в котором есть некоторый момент “сейчас”, в который все со всем связано мгновенно.
А теперь посмотрим на сверхзвуковое обтекание:

Сверхзвуковой поток принципиально иначе устроен. В нем есть причинно-следственная структура. Он уже не полносвязный. Например, точка потока на острие снаряда влияет только на те точки потока, которые находится внутри звукового конуса (конус Маха в данном случае), поскольку звуковая волна имеет конечную скорость и не успевает добежать до точек, которые помечены как “причинно не связанные” (не связаны с точкой на острие в данном случае). Можно взять любую точку этого потока, и для нее будет существовать аналогичный конус (конус будущего). Это значит, что каждая точка потока распространяет свое влияние только на точки потока в конусе справа от себя (точка острия является причиной для точек в конусе будущего). Аналогично, на эту точку оказывают влияние только те точки, которые находятся в аналогичном конусе слева от нее (конус прошлого для точки острия, точки внутри конуса прошлого являются причиной для точки острия). Все остальные точки потока, которые не попали в два этих конуса, вообще никак не связаны с данной точкой (их большинство).
Эта “неполносвязность” в некотором смысле облегчает задачу поиска решения гидродинамической задачи для сверхзвукового потока, поскольку теперь мы можем искать решение по направлению от причин к следствию. В данном случае это значит, что вместо итеративного последовательного приближенного решения этой задачи для всей области разом мы можем задать начальные условия только на левой границе потока и решать эту задачу последовательно в пространстве (причем сразу точно), двигаясь вдоль причинно-следственных связей, т.е. вниз по потоку. Причем способов вычисления оказывается множество, поскольку “фронт решения” может в общем случае продвигаться слева-направо совершенно по разному. От него требуется только одно – он должен состоять из причинно не связанных между собой точек потока (т.е. должен быть пространственно-подобным в терминах теории относительности). Это гарантирует, что точки фронта решения не будут зависеть друг от друга, а будут зависеть только от точек на предыдущем положении этого фронта. Таких фронтов и способов их “продвижения” на самом деле множество. Например, данную область потока можно вычислить любым следующим образом:



Главное, чтобы вычислительный фронт всюду оставался “пространственно-подобным”, т.е. в данном случае нигде не имел касательную, наклоненную круче, чем стенки “светового конуса”.
Картину пространства-времени ОТО часто называют блочной и говорят, что это нечто единое и цельное, нечто, что просто “всегда существует”. Смысл этого выражения в том, что в пространстве-времени нет однозначного момента “сейчас”, т.е. нет однозначного способа “положения и движения вычислительного фронта”. Мы не можем сказать, какая часть блока “уже есть”, а какой “еще нет”, поскольку он может “прирастать” совершенно разными путями. Единственная возможность – это считать, что он вообще не растет, а просто уже есть.

[STR]

epros в сообщении #1731523 писал(а):

Хотя бы примерно, о чём речь?

О каких-то бытовых аналогиях типа 2Д евклид = простыня или плоская столешница и т.д. Или вот как в последнем ответе, поток жидкости на сверхзвуке. Но я понимаю конечно, что точная аналогия невозможна.

EUgeneUS в сообщении #1731561 писал(а):

Кроме того, время тоже кривое.

Вот это тоже непонятная штука, да. Кривое пространство, даже не вложенное, +- понятно как представить. А как представить кривое время? Я где-то слышал, что за силу гравитации в ОТО в первую очередь по величине эффекта отвечает искривление времени а во вторую уже искривление пространства. Это так? Значит можно искривленное время представить себе как какого-то рода гравитационную силу?

sergey zhukov, интересная аналогия, спасибо за такое подробное изложение!
Еще вопрос тогда: вот это

sergey zhukov в сообщении #1731509 писал(а):

ричинно-следственная структура определяется световыми конусами. Какие-то события связаны отношением "причина-следствие", какие-то события - не связаны. Это абсолютно и не зависит от СО и СК.

не означает ли, что СТО можно изложить без преобразований Лоренца на одних только световых конусах (ну и, наверное на интервалах)? Делались ли такие попытки в литературе?

[sergey zhukov]

STR в сообщении #1731746 писал(а):

Кривое пространство, даже не вложенное, +- понятно как представить. А как представить кривое время?

Вообще, в одномерном случае кривизны просто нет, т.е. одномерое пространство (скажем, только временное измерение) кривым быть не может. Для кривизны (той кривизны, про которую говорит ОТО) нужно минимум пространство двух измерений (скажем, оно пространственное и одно временное измерение). Так что если говорить "кривое время", то это может запутать. Имеется в виду, что искривлено пространство-время в целом, а это не просто кривизна одного только пространства.

STR в сообщении #1731746 писал(а):

Я где-то слышал, что за силу гравитации в ОТО в первую очередь по величине эффекта отвечает искривление времени а во вторую уже искривление пространства.

Не совсем. Например, если подсчитать отклонение лучей света при прохождении вблизи центра тяготения, то получится, что учет только искривления времени (в данном случае это значит "неоднородная скорость света в разных точках пространства") дает только половину результата. Вторую половину дает учет искривления пространства. Известна история о том, что Эйнштейн при первом теоретическом вычислении отклонения лучей звезд при прохождении рядом с Солнцем ошибочно учел только "искривление времени" и получил результат, как в теории гравитации Ньютона. Потом он исправил вычисления и получил вдвое больший результат.

Да, так говорят, но это просто значит, что 1 световая секунда равна $3*10^8$ метров, т.е. метры и секунды которые мы выбрали независимо друг от друга, выбраны нами слишком несоразмерными. Если считать скрость света равной 1, как это часто делают, то вклад "искривления времени" и искривления пространства одного порядка.

Обычно для визуализации искривления пространства-времени рисуют воронку, и наше внимание фокусируется на искривлении только пространства (которое эта воронка отражает). При этом "искривление времени" остается за кадром и про него вообще легко забыть. Но оно не менее важно.

-- добавлено через 46 минут --

STR в сообщении #1731746 писал(а):

не означает ли, что СТО можно изложить без преобразований Лоренца

Нет, без преобразований Лоренца нельзя. Хотя, конечно, геометрию можно излагать и только на языке рисунков. Пользуясь принципом постоянства скорости света и равноправием ИСО, можно много чего вывести на картинках, даже не зная формулу Лоренца. Но нужно так понимать:

Раньше мы принимали, что расстояние между двумя событиями в пространстве (разность пространственных координат событий) для разных наблюдателей могут различаться (часы у меня на руке в вагоне дважды тикнули секундной стрелкой в одном и том же месте с моей точки зрения (у меня на руке), но с вашей точки зрения (вы на перроне) эти события произошли в точках, разделеных, например, 10 метрами (поезд движется)). Однако мы были твердо уверены, что временной промежуток времени между этими событиями у всех наблюдателей будет одинаковым (ваши часы дважды тикнули синхронно с моими часами). Т.е. мы были уверены, что промежуток времени между событиями - это инвариант (для всех одинаков). А вот промежуток расстояния между двумя событиями - не инвариант (может быть разным для разных наблюдателей). Т.е пространство - это координаты (зависят от системы отсчета), а время - это инвариант (не зависит).

Не теперь, когда мы принимаем, что существует не пространство и время, а один четырехмерный объект - пространство-время, мы должны принять, что время - это тоже координата, как и любая пространственная координата. И все четыре координаты точки-события (в пространстве-времени точки - это точки-события) зависят от системы отсчета. А инвариантом является не время, а нечто новое (интервал).

В обычном пространстве расстояние межд точками (не между событиями, а между точками) - это инвариант. Он равен корню из суммы квадратов разностей всех трех координат точек. Абсолютно то же самое применимо и к пространству-времени: расстояние между точками-событиями (интервал) равно корню из суммы квадратов разностей всех четырех координат точек-событий. Только в эту сумму квадрат разности временных координат входит не с плюсом, а с минусом (все же время существено отлично от пространственной координаты, в этом основная трудность).

Преобразование Лоренца и интервал между событиями - это то же самое, что и поворот системы координат и расстояние между двумя точками в обычном евклидовом пространстве. Поворот системы координат не меняет расстояние между точками в пространстве (ведь расстояние между точками не зависит от системы координат и существует даже и вообще без координат). Преобразование Лоренца не меняет интервал между событиями в пространстве-времени.

Мы поняли, что наблюдатели, движущиеся равномерно и прямолинейно друг относительно друга, просто видят одно и то же, но повернутое пространство-время. Поэтому преобразование Лоренца важно: оно позволяет пересчитывать события из одной системы отсчета в другую.

Кстати, интервал имеет одну очень простую интерпретацию. В автомобиле есть одометр - счетчик пройденных километров. У вас на руке есть такой же одометр, только для пространства-времени: часы отсчитывают суммарное расстояние (интервал), пройденное вами в пространстве-времени. Когда в парадоксе близнецов братья встречаются и их часы показывают разное время - это значит, что один из них прошел большее расстояние (в пространстве-времени), чем другой.

[epros]

STR в сообщении #1731746 писал(а):

Но я понимаю конечно, что точная аналогия невозможна.

А насколько неточная устроит? Я предложил на простыне нарисовать световые конусы. Это, конечно, ещё не всё. Можно ещё вообразить, что простыню можно свободно растягивать вдоль одной диагонали, сжимая вдоль другой.

STR в сообщении #1731746 писал(а):

Я где-то слышал, что за силу гравитации в ОТО в первую очередь по величине эффекта отвечает искривление времени а во вторую уже искривление пространства. Это так? Значит можно искривленное время представить себе как какого-то рода гравитационную силу?

Говорить можно про искривление четырёхмерного пространства-времени или про искривление трёхмерного пространства в заданной СО. Про искривление времени говорить не стоит. Но да, в статическом решении, например, в центрально симметричном поле компактного тяготеющего объекта, разность гравитационных потенциалов однозначно связана с отношением скоростей хода часов, если сравнивать их с помощью Эйнштейновской синхронизации (обмен световыми сигналами).

К сожалению, в общем случае гравитационное поле не является статическим.

STR в сообщении #1731746 писал(а):

не означает ли, что СТО можно изложить без преобразований Лоренца на одних только световых конусах (ну и, наверное на интервалах)?

Инвариантность интервала - это практически синоним преобразования Лоренца.