Интересная логическая задачка.

[GogalNikolay]

Mikhail_K в сообщении #1731311 писал(а):

GogalNikolay
Ждём от Вас ответы на эти вопросы для $a=5$.

Ну, если считаете, надо полностью всё в условие включить, если число составное, простое, давайте, чтобы не ломать вам голову, скажем, а больше 100 — составное, так пойдёт.

[Booker48]

GogalNikolay в сообщении #1731275 писал(а):

«Для любого нечётного натурального $a$ наименьший простой делитель числа $a^2 - 2$ не превосходит $a - \sqrt{2a}-1$».
(а) Приведите контрпример к этому утверждению или докажите, что контрпримеров не существует.

Вы ведь эту задачу предлагали к решению?

[GogalNikolay]

mihaild в сообщении #1731317 писал(а):

является ли $a = 5$ контрпримером, или нет.

Нет, это не контрпример, а естественное положение вещей. Моё ограничение показало, что 23 простое или нет, показало, если вы имеете все делители какого-либо числа, у которого есть простой больше квадратного, а у любого полупростого так и есть, но это не имеет отношение к утверждению, речь идет о простых, которые мы используем при проверке числа простое или нет или на множители простые, не превосходящие квадратного корня из числа, а те, что за его пределами, нас ведь не интересуют, они всегда будут выевляться при делении до квадратного корня.

-- добавлено через 31 минуту --

Booker48 в сообщении #1731319 писал(а):

Вы ведь эту задачу предлагали к решению?

Да, эту задачу ваше 23 вы будете проверять на все простые делители, не превосходящие 5, ибо если есть те, что больше 5, то у них будет меньше 5, если это не так, то и произведение будет больше 23, и так у вас есть один делитель, это 3, а моё ограничение — это квадратный из 10 = 3 и -1 = 2, но поскольку ваше число нечётное, то и 2 не... А вот что лежит за пределами 2, уже не будет у данного числа делителем, это означает, что ваше число 23 будет простым, и брать 3 не имеет смысла, но вижу, вы заинтересовались, так возьмите, а больше 10 — считаем его составным.

[mihaild]

GogalNikolay в сообщении #1731320 писал(а):

Нет, это не контрпример, а естественное положение вещей

Не знаю, что такое "естественное положение вещей". Дальнейший несвязный поток слов пытаться разобрать смысла не вижу.

Ответьте на вопросы 1-5 по порядку (предлагаю всем остальным участникам воздержаться от обсуждения, пока ответы не будут получены). После чего будет еще вопрос:
6. Верно ли утверждение «$5$ - нечётное натуральное число И неверно, что наименьший простой делитель числа $5^2 - 2$ не превосходит $5 - \sqrt{2\cdot 5}-1$». (да/нет)

Если да, то я сообщаю Вам, что это и называется "$5$ является контрпримером".

[GogalNikolay]

mihaild в сообщении #1731326 писал(а):

Верно ли утверждение «$5$ - нечётное натуральное число И неверно, что наименьший простой делитель числа $5^2 - 2$ не превосходит $5 - \sqrt{2\cdot 5}-1$». (да/нет)

Всё верно, любое простое число — его делитель, и меньший, и больший. А теперь ответьте на вопрос: верно, что моё ограничение = 2 и больше него не будет делителей, ибо это означает, что число простое? Вы при проверке все простые до квадратного берёте или до 5. Мое утверждение относится для делителей, которые вы будете брать при проверке или разложении, и число не будет иметь хоть один делитель больше моего условия, разумеется, только из делителей, не превышающих квадратного корня. Вы меня троллите, вам так и непонятно, о чем давайте так, как вы мне найдёте контрпример при а большем ста нечетном и составным, хоть одно такое число из делителей, не превышающих корня из числа, мы ведь только их берём для проверке, тогда и поговорим.

[Booker48]

GogalNikolay в сообщении #1731334 писал(а):

Вы меня троллите

Мы? Вас?

[Gagarin1968]

GogalNikolay в сообщении #1731275 писал(а):

Приведите контрпример к этому утверждению или докажите, что контрпримеров не существует

Кстати, странная постановка задачи.
Обычно в задачниках (в том числе для олимпиадников) это формулируется так: докажите, что ...., либо приведите контрпример.

[waxtep]

Это видимо какой-то известный сюжет? Контрпримерами будут некоторые (не все) $a$, при которых $a^2-2$ составное и $a^2-2=(a-2m)(a+2m+2),m\in\mathbb{N}$, т.е. $a=2m^2+2m-1$. Подходящие $m$ образуют последовательность, неведомую OEIS: $2,3,6,7,10,17,21,24,38,\ldots$

-- добавлено через 5 минут --

а, ну собственно когда оба множителя в разложении $a^2-2=(2m^2-1)(2m^2+4m+1)$ - простые

[wrest]

GogalNikolay
Подсказка: делители числа, не равные единице или самому числу, называют "собственными", или "нетривиальными".

[Лукомор]

GogalNikolay в сообщении #1731275 писал(а):

«Для любого нечётного натурального $a$ наименьший простой делитель числа $a^2 - 2$ не превосходит $a - \sqrt{2a}-1$».
(а) Приведите контрпример

Контрпример:
$a = 11$
$a^2 - 2 = 119 = 7 \cdot 17$
Наименьший простой делитель числа $119$ равен $7$.
$7 > 11 - \sqrt{2 \cdot 11 } - 1$.

Расходимся...

[vxv]

GogalNikolay в сообщении #1731275 писал(а):

«Для любого нечётного натурального $a$ наименьший простой делитель числа $a^2 - 2$ не превосходит $a - \sqrt{2a}-1$».
(а) Приведите контрпример к этому утверждению или докажите, что контрпримеров не существует.
(б)А для каких ещё чисел это утверждение будет справедливо?

GogalNikolay

В Вашем случая (при алгебраических операциях с натуральными числами) "натуральное $a$" не может быть нечетным.

Для начала замените в тексте "любого нечетного" на "любого четного".

Тогда начальные натуральные значения $a$ будут начинаться с $8, 18, 32, 50, ...$