Квантовая механика и микроканоническое распределение

[fizGSE]

Во многих курсах статистической физики (в том числе и в том, который изучал я), основополагающим является микроканоническое распределение, которому подчиняются изолированные системы.
Согласно этому распределению вероятность найти систему в любом из энергетических состояний равна нулю, кроме достаточно узкой полоски $\left(E;E+\Delta E\right)$, где вероятность равномерно распределяется между всеми состояниями.

Однако, известно, что диагональ матрицы плотности изолированной системы не изменяется во времени, следовательно, даже у огромной, макроскопической системы распределение вероятностей энергетических состояний должно оставаться таким же, каким было "в начальный момент времени", а не приходить к какому-то одному конкретному виду.

Как же тогда обосновать применимость микроканонического распределения?

[warlock66613]

Объясняется обычно тем, что на самом деле выбранный базис не является в точности энергетическим, только близок к нему. Например, мы считаем систему изолированной и берём соответствующий базис, а она чуть-чуть неизолированная и истинный энергетический базис чуть-чуть другой. Или мы считаем систему бесконечной и берём соответствующий базис, а она на самом деле конечная и базис чуть другой.

[warlock66613]

В старых и элементарных учебниках этого нет, поэтому сразу не написал. Но нашёл в, видимо, новом и, видимо, не совсем элементарном. Объяснение называется Eigenstate Thermalization Hypothesis (ETH). Конкретно нашёл вот в этих лекциях. Суть в том, что если сложная большая система ни в каком микроканоническом распределении не находится, то всё равно диагональные элементы локальных операторов равны средним, вычисленным по микроканоническому распределению.

[fizGSE]

То есть кусочек термостата ведёт себя так же, как будто весь термостат подчиняется микроканоническому распределению, даже если на самом деле этого распределения там и в помине нет? Забавно.

[warlock66613]

fizGSE, именно.

[realeugene]

fizGSE в сообщении #1731132 писал(а):

То есть кусочек термостата ведёт себя так же, как будто весь термостат подчиняется микроканоническому распределению, даже если на самом деле этого распределения там и в помине нет? Забавно.

У термостата сохраняется энергия. Но сохранение энергии удаляет у него только одну степень свободы. Которых у него очень много. Так что энергия подсистемы шумит не замечая ограничение сохранения энергии термостата.

[fizGSE]

Но, я так понимаю, все это находится, скорее, в статусе хорошего и логичного предположения, а не прямого следствия законов движения? Просто для меня утверждение, что, если у нас есть система и мир, то

$$\operatorname{tr}_W(\hat\rho_{S\cup W})\approx \operatorname{tr}_W(\hat\rho_{\mu CD})$$

($\hat\rho_{\mu CD}$ - матрица плотности согласно микроканоническому распределению) кажется достаточно смелым. Впрочем, если оно работает, то почему нет?

[warlock66613]

fizGSE в сообщении #1731149 писал(а):

Но, я так понимаю, все это находится, скорее, в статусе хорошего и логичного предположения

Да.

[fizGSE]

fizGSE в сообщении #1731132 писал(а):

То есть кусочек термостата ведёт себя так же, как будто весь термостат подчиняется микроканоническому распределению, даже если на самом деле этого распределения там и в помине нет? Забавно.

Вот только даже такое объяснение мне кажется не вполне исчерпывающим.
Скажем, в ЛЛ-5 выводится формула (7.17):

$$dw = \operatorname{const} \cdot \delta\left(\sum_a{E_a} - E_0\right) \, e^{S(E_1,E_2,...,E_a,...)} \prod_a dE_a$$

Она выражает вероятность того, что подсистемы изолированной системы с номерами $1,2,...,a,...$ будут иметь энергии $E_1,E_2,...,E_a,...$. Эта формула выводится при помощи микроканонического распределения и при этом относится не к какой-то малой части системы, а ко всей изолированной системе (так, на ее основе делается вывод, что самое вероятное состояние этой общей изолированной системы - то, в котором энтропия максимальна).

[warlock66613]

fizGSE, всё что касается системы целиком при таком подходе надо воспринимать с изрядной долей условности. Это всё "если бы оно и правда было микроканонически распределено". Если делать всё строго, ту же энтропию надо определять как сумму энтропий отдельных частей системы. (Энтропия фон Неймана чистого стационарного состояния, в котором на самом деле находится система, равна нулю.) Когда писался ЛЛ ETH вообще ещё не была сформулирована, так что изложение там к ней отношения не имеет.

В принципе есть 4 способа считать энтропию:
1) как энтропию фон Неймана,
2) как энтропию фон Неймана, но сначала занулить недиагональные члены матрицы плотности в энергетическом базисе,
3) как сумму энтропий фон Неймана частей системы (они должны быть не слишком маленькими и не слишком большими),
4) как сумму энтропий фон Неймана частей системы, но с занулёнными недиагональными элементами их матриц плотности в энергетическом базисе.

Идейно правильный способ 4, но на практике, как я понимаю, 3 для систем в равновесии даёт то же самое, а 1 и 2 тоже дают нужную величину, но только если считать что система в состоянии соответствующем микроканоническому распределению.

[fizGSE]

warlock66613 в сообщении #1731446 писал(а):

fizGSE, Если делать всё строго, ту же энтропию надо определять как сумму энтропий отдельных частей системы.

Вообще, в ЛЛ оно так и делается (определяется энтропия изолированной системы с заданной энергией, а энтропия системы, у которой разные подсистемы имеют разные энергии - как сумма энтропий этих подсистем). Впрочем, вряд ли это сильно меняет дело.

А так, наверное, могу попытаться убедить себя, что микроканоническое распределение "неправильное, но даёт правильные результаты". Но ощущение лёгкого жжения в голове останется.

[warlock66613]

fizGSE, простое объяснение которое я предложил в первом посте и которое используется в старых учениках, не стоит сбрасывать со счетов. Оно на самом деле очень похоже на ETH, если поразмыслить. Ведь о чём там речь на самом деле: что существует базис, очень близкий к энергетическому, такой, что если взять реальное состояние системы (чистое или смешанное если система не строго изолирована) и занулить в нём недиагональные элементы матрицы плотности, то получится микроканоническое состояние. Для равновесной статфизики большего не требуется. Для неравновесной надо доказывать (или постулировать), что система с занулёнными недиагональными элементами в каком-то смысле ведёт себя так же как система с незанулёнными. При таком подходе гораздо прозрачнее откуда берётся микроканоническое распределение, ну мне так кажется.

[fizGSE]

Вообще да, можно поразмыслить о том, чем будет отличаться базис собственных состояний реального гамильтониана и гамильтониана с выключенными членами взаимодействия, например.
Как минимум, во втором случае состояния не будут стационарными состояниями реальной системы, следовательно, в таким базисе ничто не мешает населенностям меняться (и, может, в конце концов даже придти к микроканоническому распределению, кто знает?)

[warlock66613]

fizGSE в сообщении #1731455 писал(а):

и, может, в конце концов даже придти к микроканоническому распределению, кто знает?

Строго говоря оно не придёт в том смысле, что недиагональные элементы останутся. Но мы всегда можем сказать (и должны сказать на самом деле), что недиагональные элементы нас попросту не интересуют, что все физически интересные величины определяются диагональными элементами. И вот в этом смысле да, оно вполне может придти к микроканоническому распределению.

[fizGSE]

Вообще, как я помню, внедиагональные элементы у больших систем имеют обыкновение проседать почти до нуля. Впрочем, пока я и впрямь не вижу особого смысла выяснять, что там с ними на самом деле происходит.

Другое дело, хотелось бы знать, какой отпечаток оставит сохранение энергии на эволюцию системы в таком "свободном" базисе. В настоящем базисе оно вообще запрещает вероятностям меняться, но приводит ли оно к чему-то интересному в этом? Сложно сказать.