Квантовая механика и микроканоническое распределение

[warlock66613]

fizGSE в сообщении #1731459 писал(а):

внедиагональные элементы у больших систем имеют обыкновение проседать почти до нуля

Это для систем, которые неизолированные. Если система на самом деле неизолированная, то действительно это очень вероятно. Но и для изолированных систем недиагональные элементы могут не играть роли, когда система рассматривается на разумном среднем временном масштабе: когда детали быстрых процессов релаксации нас не интересуют, а время возвращения Пуанкаре настолько далеко в будущем, что теряет физический смысл.

fizGSE в сообщении #1731459 писал(а):

Другое дело, хотелось бы знать, какой отпечаток оставит сохранение энергии на эволюцию системы в таком "свободном" базисе. В настоящем базисе оно вообще запрещает вероятностям меняться, но приводит ли оно к чему-то интересному в этом?

Оно приводит к тому что вероятности распределяются в узкой полосе состояний с близкими энергиями.

[fizGSE]

warlock66613 в сообщении #1731460 писал(а):

Оно приводит к тому что вероятности распределяются в узкой полосе состояний с близкими энергиями.

А вот это интересно. А если у нас был огромный-преогромный термостат, и мы изолирующими стенками отделили бы от него огромную систему, но поменьше. По идее, эта система должна сразу после изоляции все еще подчиняться каноническому распределению. Возникает вопрос: подчиняться в каком базисе? Свободных состояний, истинных, или вообще без особой разницы? И если в базисе свободных состояний вероятности по итогу распределятся в узкой полосе, возле какой энергии они будут группироваться? Возле средней энергии начального распределения?

[warlock66613]

fizGSE в сообщении #1731464 писал(а):

А если у нас был огромный-преогромный термостат, и мы изолирующими стенками отделили бы от него огромную систему, но поменьше. По идее, эта система должна сразу после изоляции все еще подчиняться каноническому распределению.

А вот и нет. Добавление стенок -- это мгновенное изменение гамильтониана, которое эквивалентно неизбирательному измерению энергии системы поменьше. В результате будем иметь состояние-смесь микроканонических распределений. Дальше происходит "квантовая магия": неизбирательное измерение превращается в избирательное и смесь превращается в одно микроканоническое распределение. Никто (ну кроме меня и ещё кое-кого) не знает как неизбирательные измерения превращаются в избирательные. (Ладно, я тоже не знаю, я просто думаю что знаю. И таких вот кто думает что знает уже существенно больше. Но на самом деле мы не знаем.)

fizGSE в сообщении #1731464 писал(а):

возле какой энергии они будут группироваться? Возле средней энергии начального распределения?

Учитывая сказанное выше, около случайной (где вероятность определяется начальным распределением).

[fizGSE]

Разве? До отделения у нас был гамильтониан:

$$\hat{H} = \hat{H}_A \otimes \hat{I}_B + \hat{I}_A \otimes \hat{H}_B + \hat{V}$$

То есть свободная первая система, свободная вторая и всевозможные взаимодействия.

Если система поменьше - это "А", то ничто нам не мешает посмотреть на ее редуцированную матрицу плотности в базисе собственных векторов $\hat{H}_A$. Возможно, я ошибаюсь, но диагональные элементы ее должны быть пропорциональны $\exp(-{E_A}_k/T)$.

После того, как мы поставим стенку, матрица плотности как оператор, по идее, не успеет моментально поменяться, а в гамильтониане изменится только член взаимодействия, но никак не $\hat{H}_A$ и его базис. То есть, если следить за редуцированной матрицей в базисе собственных векторов $\hat{H}_A$, момент установки стенок вообще не будет заметен поначалу.

[warlock66613]

Тут можно по-разному подходить и в любом случае придётся скосить пару углов. Сначала у нас энергия (системы $A$) не коммутировала с гамильтонианом. Можно сказать, она флуктуировала. Когда мы добавили стенку, она начала коммутировать. Можно сказать она перестала флуктуировать. Вот почему я говорю что произошло неселективное измерение энергии. Матрица плотности при этом не меняется. Далее неселективное измерение превращается в селективное. Матрица плотности при этом всё ещё не меняется, но меняется то, как мы смотрим на эту матрицу плотности. До этого мы считали, что она описывает актуальное состояние системы. А теперь мы считаем, что она описывает возможные значения энергии и вероятности их получения. А сама система теперь в чистом состоянии. Поэтому её матрица плотности, описывающая актуальное состояние, иная: с одной единицей на диагонали и остальные элементы все нули. Но эта матрица плотности в точном энергетическом базисе. А нам не нравятся такие базисы, мы не хотим делать статфизику в таких базисах. Поэтому мы немножко поворачиваем базис, единица на диагонали расплывается и получается микроканоническое распределение.

[fizGSE]

warlock66613 в сообщении #1731480 писал(а):

. Матрица плотности при этом всё ещё не меняется, но меняется то, как мы смотрим на эту матрицу плотности. До этого мы считали, что она описывает актуальное состояние системы. А теперь мы считаем, что она описывает возможные значения энергии и вероятности их получения. А сама система теперь в чистом состоянии.

Вы имеете ввиду, что на одну и ту же матрицу плотности можно смотреть и как на цельное описание состояния системы, и как на вероятностную смесь различных состояний с определенной энергией? Мысль вроде ясная, но как-то пока не до конца улавливаю, почему именно после изоляции на коэффициенты матрицы мы стали смотреть, как на вероятности различных исходов, а не как на числа, задающие состояние системы.

[warlock66613]

fizGSE в сообщении #1731485 писал(а):

Вы имеете ввиду, что на одну и ту же матрицу плотности можно смотреть и как на цельное описание состояния системы, и как на вероятностную смесь различных состояний с определенной энергией?

Именно. Это называется несобственная и собственная матрица плотности. Несобственная матрица плотности может как бы превращаться в собственную. Можно продолжать смотреть и по-старому, но когда система замкнута смысла в этом немного. Именно после изоляции — потому что с этого момента собственные значения матрицы плотности перестают изменяться, а это признак собственной матрицы плотности.

[fizGSE]

Хорошо, после изоляции я могу смотреть на матрицу плотности как на множество исходов с разными вероятностями, притом каждый исход - чистое состояние. Мешает ли мне что-то нарезать диагональ более грубо, и получить в качестве исхода не чистое состояние, а смесь из близко расположенных состояний (матрицу плотности, где диагональ ненулевая только в пределах узкой полосы)? Если да, разве не будет ли это то самое микроканоническое распределение?

[warlock66613]

Технически так можно сделать. Но возникают вопросы. Всё-таки разложение по чистым состояниям выделено. Ваше — уже нет. Почему тогда мы раскладываем именно так? Хочется тогда уже ввести в картину наблюдателя, который не знает точную энергию. Тогда возникает вопрос "а мы всё ещё термостат описываем? или термостат с наблюдателем? а это всё ещё физика? а если наблюдателя нет, термостат будет вести себя иначе?" На эти вопросы можно дать удовлетворительные ответы, но мне не кажется это наиболее естественным путём.

[fizGSE]

Если в системе достаточно много степеней свободы, то из всей диагонали реально будет реализовываться узкая полоска, где плотность состояний уже огромна, а экспонента Гиббса ещё не упала. А раз так, почему бы не выкинуть все остальное?

К слову, по ощущениям, Ландау делает что-то похожее, судя по происходящему в начале §7. Раньше все эти преобразования с "шириной узкого пика" для меня выглядели какой-то бессмыслицей, но если рассуждать так, как я сейчас, становится немного понятнее.