Коммутативная неассоциативная операция на R^2 с сохранением

[123mine]

Всем привет! На днях сидел за алгеброй в тетради и случайно наткнулся на странное свойство одной векторной операции. Стало интересно, встречал ли кто-то нечто подобное и есть ли у этого глубокий математический смысл.

В общем, берем две точки A(x_1, y_1) и B(x_2, y_2). Задаем их перемножение следующей формулой:
A \otimes B = (x_1 y_2 + x_2 y_1, \; x_1 x_2 - y_1 y_2)

Первая координата — сумма произведений крест-накрест, вторая — разность одноименных координат.

Первое наблюдение: операция коммутативна. Если поменять местами A и B, вычисляемые значения совпадают.

Второе наблюдение: сохранение длины вектора. Если взять стандартную формулу длины |A| = \sqrt{x^2 + y^2}, то длина результата оказывается равна произведению длин исходных векторов:
|A \otimes B| = |A| \cdot |B|

Доказывается прямо на черновике: раскрываем квадрат суммы и разности, перекрестные слагаемые +2x_1 y_1 x_2 y_2 и -2x_1 x_2 y_1 y_2 взаимоуничтожаются, а оставшиеся слагаемые раскладываются на множители (x_1^2 + y_1^2)(x_2^2 + y_2^2). По сути, получается тождество Брахмагупты.

Третье наблюдение: ассоциативность отваливается. Равенство (A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C) не выполняется.
Если проверить на точках A(1,0), B(0,1), C(1,1): в первом случае выходят координаты (1,1), во втором — (-1,1).

Еще несколько деталей:
- Нейтрального элемента нет: нельзя найти такую точку E, чтобы всегда было A \otimes E = A.
- При попытке линейно свести это к комплексным числам через T(x,y) = \alpha x + \beta y вылезает противоречие в системе коэффициентов.
- Геометрически это похоже на умножение комплексных чисел, в котором поменяли местами оси (отражение относительно прямой y = x). Из-за этого длина сохраняется, а ассоциативность теряется.

Кто-нибудь сталкивался с такими коммутативными, но неассоциативными конструкциями в алгебре? Будет круто услышать мысли!

[SergeyGubanov]

Пусть $A$ и $B$ матрицы. Введём коммутативное, но не ассоциативное умножение:

$$ \left( A \otimes B \right) = A B + B A, $$

$$ \left( \left( A \otimes B \right) \otimes C \right) \ne \left(A \otimes \left( B \otimes C \right) \right). $$

[пианист]

123mine в сообщении #1728943 писал(а):

векторной операции

То, что запись Вашей операции зависит от выбора координат, Вас не смущает?

[Someone]

123mine в сообщении #1728943 писал(а):

Если взять стандартную формулу длины |A| = \sqrt{x^2 + y^2}, то длина результата оказывается равна произведению длин исходных векторов:
|A \otimes B| = |A| \cdot |B|

Есть такое тождество: $(a_1b_1-a_2b_2)^2+(a_1b_2+a_2b_1)^2=(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)$.
Умножение комплексных чисел определяется как $(a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1b_1-a_2b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i$, а ваше умножение — как $(a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1b_2+a_2b_1)+(a_1b_1-a_2b_2)i$, то есть, в произведении переставлены компоненты.

Есть и другие тождества такого рода.

Рекомендую книжку
И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. "Наука", Москва, 1973. https://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/KantorSolodovnikov1973ru.djvu

123mine в сообщении #1728943 писал(а):

Кто-нибудь сталкивался с такими коммутативными, но неассоциативными конструкциями в алгебре?

В алгебре чего только нет… Никто не запрещает алгебраической операции быть коммутативной, но не ассоциативной. Другой вопрос, было ли это кому-нибудь интересно (ответа не знаю). Как правило, ассоциативность требуют в первую очередь, а коммутативность — реже.

В серии "Справочная математическая библиотека" в 1990–1991 годах в издательстве "Наука" вышел двухтомный справочник "Общая алгебра" суммарным объёмом более тысячи страниц… Но я там не нашёл специального упоминания коммутативных, но не ассоциативных операций. Может быть, плохо искал.

-- добавлено через 10 минут --

пианист в сообщении #1728991 писал(а):

123mine в сообщении #1728943 писал(а):

векторной операции

То, что запись Вашей операции зависит от выбора координат, Вас не смущает?

И не должно смущать. Запись умножения комплексных чисел тоже зависит от выбора координат.

Поле комплексных чисел является двумерной алгеброй над полем действительных чисел, и обычная запись умножения получается только при специальном выборе базиса.

[lek]

Ваша операция превращает $R^2$ в (нелинейную) алгебру, в которой не выполняется закон дистрибутивности. Если отказ от дистрибутивности ничем не мотивирован, то интерес к такой конструкции - ноль.

[Someone]

lek в сообщении #1729004 писал(а):

Ваша операция превращает $R^2$ в (нелинейную) алгебру, в которой не выполняется закон дистрибутивности. Если отказ от дистрибутивности ничем не мотивирован, то интерес к такой конструкции - ноль.

То есть, это даже не кольцо…

[dgwuqtj]

123mine в сообщении #1728943 писал(а):

Кто-нибудь сталкивался с такими коммутативными, но неассоциативными конструкциями в алгебре?

Самые часто встречающиеся коммутативные и неассоциативные конструкции — это йордановы алгебры, SergeyGubanov привёл пример. Но ваша алгебра не йорданова.

[lek]

Да. В данной конструкции $|ab|=|a||b|$. Поэтому дистрибутивность влечет изоморфизм построенной алгебры с $C$ или $R+R$ (теорема Гурвица). А этого нет.

[пианист]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1729001 писал(а):

Запись умножения комплексных чисел тоже зависит от выбора координат

Да, Вы правы, конечно. Это было так, чисто словесное. Умножение комплексных чисел, вроде бы, векторной операцией не называют.

[dgwuqtj]

lek в сообщении #1729009 писал(а):

Поэтому дистрибутивность влечет изоморфизм построенной алгебры с $C$ или $R+R$ (теорема Гурвица). А этого нет.

У ТС алгебра дистрибутивная (это умножение комплексных чисел, но с переставленными координатами в конце) и без единицы. А теорема Гурвица про алгебры с единицей.

[ex-math]

Такая штука используется в одном из доказательств представимости простого числа вида $4n+1$ суммой двух квадратов. В том, где метод спуска реализован, кажется оно есть в книге Дэвенпорта "Высшая арифметика".

[lek]

dgwuqtj в сообщении #1729016 писал(а):

У ТС алгебра дистрибутивная (это умножение комплексных чисел, но с переставленными координатами в конце) и без единицы. А теорема Гурвица про алгебры с единицей

Да, вы правы. Если положить $(x_1,y_1)=x_1e_1+y_1e_2$, $(x_2,y_2)=x_2e_1+y_2e_2$ и перемножить, то условие дистрибутивности приводит к следующей таблице умножения базисных элементов: $e_1e_2=e_2e_1=e_1$ и $e^2_1=-e^2_2=e_2$. Противоречий здесь не вижу. Можно проверить, что полученная 2-мерная алгебра не альтернативна, но элластична. Произвольные 2-мерные алгебры изучались в https://arxiv.org/abs/1702.08616?utm_source=chatgpt.com, там же была получена их полная классификация над алгебраически замкнутым полем.

[123mine]

Всем огромное спасибо за ответы и такую глубокую дискуссию!

Я только сегодня сидел за тетрадью с этой формулой, а за один день с вашей помощью удалось пройти путь от случайного наблюдения до полного разбора алгебраической структуры.

Отдельное спасибо:
- ex-math за наводку на книгу Дэвенпорта «Высшая арифметика» и связь с теорией чисел (суммы двух квадратов) — это было супер неожиданно!
- dgwuqtj и Someone за четкие пояснения про дистрибутивность, базисы и теорему Гурвица (отсутствие единицы действительно развязывает hands).
- lek за выписанную таблицу умножения базисных элементов и ссылку на препринт с arXiv.

Вдохновившись вашими ответами, я за сегодняшний день докрутил свойства этой операции A \otimes B = (x_1 y_2 + x_2 y_1, \; x_1 x_2 - y_1 y_2) и вывел еще несколько интересных тождеств:

1. Кубическое тождество (Редукция куба)
Для любого вектора A(x,y) его куб строго коллинеарен самому вектору:
A^3 = A \otimes (A \otimes A) = \|A\|^2 \cdot A
(В частности, для любого единичного вектора \|A\| = 1 получаем A^3 = A).

2. Идемпотенты (точки, где A \otimes A = A)
Система 2xy = x и x^2 - y^2 = y дает ровно 4 решения:
- (0, 0)
- (0, -1)
- (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})
- (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})

3. Отсутствие делителей нуля
Из мультипликативности нормы \|A \otimes B\| = \|A\| \cdot \|B\| напрямую следует, что если A \otimes B = (0,0), то либо A = (0,0), либо B = (0,0).

4. Однозначность деления
Для любого A \neq (0,0) уравнение A \otimes X = B имеет единственное решение X. Определитель матрицы системы D = -(x_1^2 + y_1^2) = -\|A\|^2 \neq 0.

5. Проверка йордановости и эластичности
Алгебра является эластичной (A \otimes (B \otimes A) = (A \otimes B) \otimes A), но НЕ является йордановой: тождество A^2 \otimes (A \otimes B) = A \otimes (A^2 \otimes B) ломается на базисных векторах e_1(1,0) и e_2(0,1) (получается e_1 \neq -e_1).

Ещё раз спасибо сообществу за помощь, ссылки и крутую мотивацию!