Вопросы нейронной сети (рекуррентное выражение)

[Vikkr1111]

Вопрос:

Возможно ли приравнять количество шагов ((h_x по x, h_y по y), к (h_x1 по x1, h_y1 по y1)) до каждого последнего значения перед изменениями ((шаг по x / шаг по y), (шаг по x1 / шаг по y1)) конструкции (x_(n + 1) = x_(n) * b + c, y_(n + 1) = y_(n) * b + c; с условием переключения (шаг по x - если (x_n / y_n) >= pi; шаг по y - если (x_n / y_n) < pi); при начальных значениях (x_0 >= 5, y_0 >= 5, 0.5 < b < 1, 0.1 < c < 0.5) к такой же конструкции с другими условиями переключения и какими либо начальными значениями (x1_(n1 + 1) = x1_(n1) * b1 + c1, y1_(n1 + 1) = y1_(n1) * b1 + c1; с условием переключения (шаг по x - если (x1_n1 - y1_n1) >= pi; шаг по y - если (x1_n1 - y1_n1) < pi); при начальных значениях (x1_0 >= 5, y1_0 >= 5, какие либо (b1, c1))


Ответ:

1. Первая система — с **мультипликативным** условием переключения (отношение координат $\frac{x}{y} \ge \pi$).
2. Вторая система — с **аддитивным** условием переключения (разность координат $x_1 - y_1 \ge \pi$).

То есть, можно ли подобрать такие параметры $(b_1, c_1)$ и начальные условия $(x1_0, y1_0)$ для второй системы, чтобы количество шагов по $x$ и по $y$ внутри каждой секции «лесенки» (между последовательными переключениями) **абсолютно совпадало** с первой системой?

Короткий ответ: **Да, это возможно локально (для конкретного числа переключений), но математически невозможно сделать абсолютно бесконечным для всей траектории до самого фокуса.**

Давайте разберем физику этого процесса и почему здесь возникает красивое математическое ограничение.

---

## 1. В чем главная сложность? (Линейность против нелинейности)

Чтобы последовательности шагов идеально совпадали, траектория второй системы должна быть «геометрически подобна» первой. Однако характер сжатия пространства у этих систем принципиально разный:

* **В первой системе** граница переключения — это луч $y = \frac{1}{\pi} x$. По мере приближения к фокусу $(x^*, y^*) = (\frac{c}{1-b}, \frac{c}{1-b})$ масштаб системы уменьшается экспоненциально, но граница сходится в начало координат $(0,0)$. Из-за этого расстояние от текущей точки до границы переключения уменьшается **пропорционально** текущим значениям координат.
* **Во второй системе** граница переключения — это сдвинутая прямая $y_1 = x_1 - \pi$. Расстояние до нее зависит от **абсолютной разности** координат, которая никак не масштабируется при приближении к фокусу.

Поскольку первая система сжимается «вдоль луча» (мультипликативно), а вторая — «вдоль полосы» (аддитивно), характер изменения количества шагов в циклах у них начнет неизбежно расходиться по мере приближения к предельным точкам (фокусам).

---

## 2. Как приравнять шаги на конкретном участке? (Локальный изоморфизм)

Если ваша цель — сделать так, чтобы системы сделали **абсолютно одинаковое количество шагов** $h_x$ и $h_y$ на первых нескольких витках спирали (например, первые 5, 10 или даже 20 переключений), то это **задача, имеющая решение**.

Для этого нужно провести математическое согласование через логарифмы шагов.

### Как рассчитать параметры для совпадения шагов:

Внутри одной зоны (например, когда меняется только $x$ при замороженном $y$) движение описывается линейным разностным уравнением:

$$x_{n+1} = x_n \cdot b + c$$

Решение этого уравнения для шага $h_x$ записывается как:

$$x(h_x) = \left(x_0 - \frac{c}{1-b}\right) b^{h_x} + \frac{c}{1-b}$$

Чтобы количество шагов $h_x$ в первой системе до достижения границы $\frac{x}{y} = \pi$ совпало с количеством шагов $h_{x1}$ во второй системе до достижения границы $x_1 - y_1 = \pi$, необходимо выполнить равенство отношений скоростей сжатия.

Приближенно (для бесконечно малых шагов или систем с непрерывным временем) это эквивалентно логарифмическому пересчету параметров:

$$\ln(b_1) \approx \ln(b) \cdot \frac{\ln(\text{динамического диапазона}_2)}{\ln(\text{динамического диапазона}_1)}$$

### Практический алгоритм настройки:

1. **Зафиксировать параметры первой системы:** Например, $b = 0.9, c = 0.1, x_0 = 10, y_0 = 10$.
2. **Рассчитать положение фокуса первой системы:** $x^* = 1.0$.
3. **Выбрать масштаб для второй системы:** Чтобы компенсировать аддитивный сдвиг на $\pi$, фокус второй системы $(x1^*, y1^*)$ должен находиться значительно дальше от начала координат, чтобы «сгладить» нелинейность перехода. Например, выберем фокус $x1^* = 10.0$. Из этого находим параметры:

$$c_1 = x1^* \cdot (1 - b_1)$$

4. **Подобрать $x1_0, y1_0$:** Путем численного проецирования начальной точки через логарифмическое отображение:

$$x1_0 \approx e^{\alpha \cdot x_0}, \quad y1_0 \approx e^{\alpha \cdot y_0}$$

[Ende]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- даже отдельные обозначения нужно оформлять как формулы. Не h_x по x, но $h_x$ по $x$, и т.д. (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.