Прямоугольные преугольникм площади которых треугольные числа

[scwec]

Найдите бесконечное 1-параметрическое семейство рациональных прямоугольных треугольников, площади которых треугольные числа

[Shadow]

$a=2v(v^2+1),\; b=\dfrac{2v^2+1}{v},\; c=\dfrac{2v^4+2v^2+1}{v}$
$v \in \mathbb{N}$

Подходит?

[scwec]

Да, подходит. Отсюда следует так же конгруэнтность числа $2v^4+3v^2+1$
Вот ещё вариант
$a=\dfrac{2n^3(n^4+1)}{(n^4-1)}, b=\dfrac{n(n^4-1)}{2}, c=\dfrac{n(n^8+6n^4+1)}{n^4-1}$ и площадь $s=\dfrac{n^4(n^4+1)}{2}$
Можно также прийти к Пеллю $x^2-3y^2=1$ и т.д.
Вариантов хватает.

[Shadow]

Можно отметить также, что существуют бесконечно много таких треугольников с целыми сторонами. Из уравнения Пелля $8uv(u^2-v^2)t^2+1=y^2$
В частности, подобные треугольнику $(3,4,5)$ будут $(3t,4t,5t)$ где $t=1,14,195,2716\ldots$

Или, для любого примитивного пифагорового треугольника существуют бесконечно много ему подобные, с площадью треугольное число. (Так как $2uv(u^2-v^2)$ не может быть квадратом)

-- 16.03.2026, 09:52 --

Вопрос сколько таких примитивных треугольников существуют. $(3,4,5)$ понятно. Интересный факт: треугольник с сторонами $u^2-v^2,2uv,u^2+v^2$ будет таким при $u=8v^5-2v$

Что дает второй треугольник $(35,12,37)$.

[Rak so dna]

$u=8v^5+2v$ дает ещё треугольник $(99,20,101)$

[nnosipov]

Shadow в сообщении #1720327 писал(а):

Вопрос сколько таких примитивных треугольников существуют.

Много, как показывает компьютерный эксперимент. Но как доказать, что бесконечно много, непонятно.

[Rak so dna]

Shadow в сообщении #1720327 писал(а):

Вопрос сколько таких примитивных треугольников существуют.

Вроде как бесконечно. Например, для треугольников, катеты которых различаются на $1$, гипотенузы можно брать из последовательностей A316708 или A316709

Так, для A316709 параметризация:

$a=\frac{(3k^2-2k+1)(6k-7k^2-1)}{(k^2+2k-1)^2}$

$b=\frac{4(1-k)k(5k^2-4k+1)}{(k^2+2k-1)^2}$

$c=\frac{29k^4-48k^3+30k^2-8k+1}{(k^2+2k-1)^2}$

выполняет критерий для треугольного числа площади:

$4ab+1=\frac{(41k^4-68k^3+42k^2-12k+1)^2}{(k^2+2k-1)^4}$

[nnosipov]

Последовательность гипотенуз таких треугольников: 5, 29, 37, 53, 101, 149, 169, ...

А чтобы еще и гипотенуза квадратная была, так только один (119,120,169), похоже.

[Shadow]

Rak so dna в сообщении #1720344 писал(а):

Например, для треугольников, катеты которых различаются на $1$,

...площадь и есть треугольное число

[Rak so dna]

Shadow это да, вот только доказать, что таких треугольников бесконечно много, ещё бы не помешало. У меня вроде как получилось (прямой подстановкой $k=\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2n}+\left(\sqrt{2}-1\right)^{2n}}{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2n+1}-\left(\sqrt{2}-1\right)^{2n+1}}$ в параметрическую формулу для $a$), но, наверное, можно как-то проще?

[Shadow]

Rak so dna Простое уравнение Пелля $a^2+(a+1)^2=c^2$

$(2a+1)^2-2c^2=-1$

С решениями
$a_0=0,a_1=3, a_n=6a_{n-1}-a_{n-2}+2$

$c_0=1,c_1=5,c_n=6c_{n-1}-c_{n-2}$

[Rak so dna]

Shadow вот блин... Ладно, буду себя утешать, что смог обойти Пелля

[scwec]

Все целые прямоугольные треугольники с катетами, длины которых отличаются на единицу, получаются из треугольника $(3.4.5)$, о чём подробно поведал В.Серпинский в книжке "Пифагоровы треугольники". (В этой теме выше они рассматривались).
Найдите среди этих треугольников такие, у которых три длины сторон - числа конгруэнтные.