Прямоугольные преугольникм площади которых треугольные числа

[scwec]

Поскольку общих формул для $a,b,c$ в рациональных функциях здесь нет,
то достаточно найти частные решения с доказательством конгруэнтности
длин сторон. Для первой строки, например,
$s = 53$

$a = \dfrac{21447205780}{1472112483}$

$b = \dfrac{1472112483}{202332130}$

$c = \dfrac{4850493897329785961}{297855654284978790}$
и т.д.

[scwec]

Возможно послесловие.
Вот один из прямоугольных рациональных треугольников с площадью $7001$, упомянутой выше
$a =\dfrac{518219954280}{726388181}$

$b = \dfrac{5085443655181}{259109977140}$

$c =\dfrac{134326762976069538935761}{188214424973676182340}$
т.е. число 7001 конгруэнтно.
Для остальных чисел так же - либо строится треугольник с нужной площадью, либо число проверяется
критерием Таннелла при условии справедливости слабой гипотезы БСД (в чём давно нет сомнений).

[nnosipov]

scwec
А как были найдены $a$, $b$, $c$ для случая $s=7001$?

[scwec]

Вот ещё пример 2-х троек $a,b,c,a^2+b^2=c^2$,
$a=60060, b=14309, c=61741$. .
$a=45308, b=49245,c=66917$
Оба треугольника -с площадями треугольными числами и конгруэнтными $a,b,c$.
Все длины сторон удовлетворяют критерию Таннелла,
и это проверить в данном случае проще, чем вычислять треугольники.
Что до вопроса nnosipov, то тут говорилось что-то про "просто перебор".(шутка).
Как-нибудь позже напишу.
Найдите ещё тройки с аналогичными свойствами, но размерностью побольше.