О вариационном исчислении.Вопрос.

[pan555]

Как известно ,в вариационном исчислении существуют функционалы от производных более высокого порядка,чем первый и приводящие к уравнениям Эйлера -Пуассона.

Вопрос в том, существуют ли для таких функционалов инварианты, подобные "энергии" и "импульсу" для функционалов,зависящих от производных первого порядка ?

И если да - то где об этом можно прочитать более подробно ?

[пианист]

Если Вы про теорему Нетер, то она не граничивается лагранжианами, зависящими от производных первого порядка - порядок допускается любой. Надо, чтобы элементарное действие имело симметрию (сиречь было инвариантным для некоторой группы ЛБ); в этом случае у уравнений ЭЛ будет закон сохранения.

[pan555]

пианист в сообщении #1718084 писал(а):

Если Вы про теорему Нетер, то она не граничивается лагранжианами, зависящими от производных первого порядка - порядок допускается любой. Надо, чтобы элементарное действие имело симметрию (сиречь было инвариантным для некоторой группы ЛБ); в этом случае у уравнений ЭЛ будет закон сохранения.

И где об этом можно почитать более подробно,особенно если будут в этом плане описаны функционалы (лагранжианы) зависящип от производных более высокого порядка ,чем первый ?

[пианист]

pan555
Про конкретные примеры лагранжианов, зависящих от производных порядка выше первого, увы, ничего не подскажу. Могу только про формулу для закона сохранения ;), но это Вы, полагаю, и сами знаете.

[Padawan]

pan555
Гюнтер, Кузьмин Сборник задач по высшей математике, задача 6034.

[pan555]

Padawan в сообщении #1718099 писал(а):

pan555
Гюнтер, Кузьмин Сборник задач по высшей математике, задача 6034.

Скачал сей учебник.
Нет там задачи под номером 6034.
Вы где -то ошиблись.
---
Так же нашёл,где об этом писали :
Гельфанд "Вариационное исчисление"
Арнольд "Математическип методы физики"
Ибрагимов "Группы...."
Заказал и эти книги.В эл.виде они то же есть.

[Padawan]

pan555
У меня просто новое издание, где все тома в одну книгу собрали. В старом издании это задача 1157 (том 3, издание 1947 года)

[pan555]

Padawan в сообщении #1718101 писал(а):

pan555
У меня просто новое издание, где все тома в одну книгу собрали. В старом издании это задача 1157 (том 3, издание 1947 года)

Нашёл ваше издание.
Действительно,задача как раз в тему.
Буду разбираться.
Жаль,не заню ,как тут сканы вставлять ,а то бы вставил скан этой задачи.
Может ,я вам этот скан на почту перешлю,если в лс перешлите свою почту - а вы вствите тут?

[pan555]

Выяснил следующее.
Для общего случая функционала со старшими производными $ L= L(t,x,x', x'' ,...x^k) $ работает уравнение Эйлера -Пуассона :

$$ \dfrac{\partial L}{\partial x} -\dfrac{ d}{dt } \dfrac{\partial L}{\partial x'} + \dfrac{d^2}{dt^2} \dfrac{\partial L}{\partial x

Для случая с k=2: уравнение Эйлера -Пуассона имеет вид :

$$ \dfrac{\partial L}{\partial x} -\dfrac{ d}{dt }\dfrac{\partial L}{\partial x'}+\dfrac{d^2}{dt^2}\dfrac{\partial L}{\partial x

Причем если L не зависит от x , то имеется первый интеграл следующего вида :

$$ \dfrac{\partial L}{\partial x'} -\dfrac{ d}{dt }\dfrac{\partial L}{\partial x''} = \operatorname{const} $$

Если L не зависит от t , то имеется первый интеграл следующего вида :

$ L - x'( \dfrac{\partial L}{\partial x'} -\dfrac{ d}{dt }\dfrac{\partial L}{\partial x''} ) - x''\dfrac{\partial L}{\partial x''} = \operatorname{const} $

Если L не зависит ни от x,ни от t , то имеется второйй интеграл следующего вида :
$ L - x''( \dfrac{\partial L}{\partial x''} ) = C_1+C_2 x' $

Насколько эта информация соответствует действительности и где об этом можно почитать более подробно ?

[Утундрий]

Вполне соответствует и в этом можно убедиться непосредственно.

Первое утверждение есть просто один раз проинтегрированное необходимое условие экстремальности. Со вторым нужно немножко помучиться, но проверять равенство это не получать его. Стандартное механическое упражнение. Ну а третье утверждение есть прямое следствие первых двух.

[pan555]

Утундрий
БЛАГОДАРЮ!
Успокоили.Значит, я не ошибся.

Теперь мне предстоит смотерть, как можно осуществить подход к гамильтоновой формулировке...

[pan555]

Padawan в сообщении #1718099 писал(а):

pan555
Гюнтер, Кузьмин Сборник задач по высшей математике, задача 6034.

Гюнтер, оказывается ,написал книгу "Курс вариационного исчисления", где подробно осветил этот момент..