Рациональные значения аргумента и функции

[Dvxfbh7578]

Если функция представима в виде бесконечного ряда Тейлора, то можно ли доказать, что она может или, наоборот, не может принимать рациональные значения при рациональных значениях аргумента?
И если доказано, что существуют рациональные значения функции при рациональных значениях аргумента, то как их найти?
Что прочитать по данному вопросу - книги, статьи?

[Anton_Peplov]

Dvxfbh7578 в сообщении #1716674 писал(а):

Если функция представима в виде бесконечного ряда Тейлора

То есть аналитическая? $y = 1$ и $y = \sqrt 2$ - аналитические функции. $y = \sqrt x$ - аналитическая функция, кроме нуля. $y = x^2$ - тоже аналитическая.

[Dvxfbh7578]

Anton_Peplov
Функция, ряд Тейлора которой имеет бесконечное количество не равных нулю коэффициентов.
(Может быть я неправильно формулирую.)
У $y = 1$ и $y = \sqrt 2$ коэффициент один - при нулевой степени $x$.
У $y = x^2$ коэффициент один - при второй степени $x$.
$y = \sqrt x$ имеет бесконечное количество не равных нулю коэффициентов.
Зная свойства квадратного корня можно утверждать, что
1. При рациональном значении $x$ значение $y$ может быть как иррациональным, например $x=2, y = \sqrt 2$, так и рациональным, например $x = 4, y = 2$, т.е. существуют рациональные значения функции при рациональных значениях аргумента.
2. Рациональные значения $x$ в виде дроби, числитель и знаменатель которой есть квадраты соответствующих натуральных чисел, и рациональные значения $y$ в виде дроби, числитель и знаменатель которой есть эти натуральные числа, являются искомыми.
Вопрос в том, что можно ли прийти к выводам 1 и 2 непосредственно из коэффициентов ряда Тейлора (не преобразовывая ряд обратно в функцию) ?

[B@R5uk]

Бесконечный ряд — это предельный переход. Там что угодно может быть в рациональных точках, хоть иррациональные, хоть трансцендентные значения. Множество действительных чисел из множества рациональных получается как раз предельным переходом, но при этом исходное множество содержит.

[dgwuqtj]

Dvxfbh7578
Начните отсюда. Существуют аналитические функции (даже целые), у которых значения во всех рациональных точках рациональны, но которые не являются отношениями многочленов.