оценка сверху суммы цифр натурального числа

[Mr. X]

Для натурального числа $n$ обозначим через $S(n)$ сумму цифр числа $n$.
Можно ли стандартную оценку сверху $S(n)\leqslant 9([\lg n]+1)$ улучшить следующим образом:
1. $S(n)\leqslant 9\lg(n+1)$ ?
2. Если $10^k-1\leqslant n\leqslant 10^{k+1}-1$, то $S(n)\leqslant 9k-1+\dfrac{n+1}{10^k}$ ?
Комментарий. Вторая оценка получается из первой заменой десятичного логарифма (выпуклого вверх) его хордой на указанном отрезке.

[B@R5uk]

Mr. X, у вас оценка целого числа получается дробной (иррациональной даже). Округление после умножения на 9?

[Mr. X]

B@R5uk, да, получается. Округления никакого нет. Равенство достигается как и у стандартной оценки на числах, записанных девятками.

[B@R5uk]

Это вы записали без округления, но оно там есть, потому что $S(n)\in\mathbb{Z}$.

[Mr. X]

B@R5uk, да без всякого округления. Например, $S(98)=17\leqslant 9\lg 99=17{,}96..., S(99)=18=9\lg100$.

[nnosipov]

Mr. X в сообщении #1715722 писал(а):

Если $10^k-1\leqslant n\leqslant 10^{k+1}-1$

Здесь какой-то из знаков должен быть строгим. Для $n=99$ чему равно $k$?