Нулевая производная

[Dedekind]

Задача. Пусть $f$ дифференцируема на интервале $A$, содержащем ноль, и пусть $(x_n)$ - последовательность в $A$ такая, что $(x_n) \to 0$ и $x_n\ne 0$ для всех $n$. Если $f(x_n) = 0$ для всех $n$, показать, что $f(0)= 0$ и $f'(0)=0$.

С первым равенством легко. А вот с $f'(0)=0$ застрял. Дошел до того, что по теореме Ролля можно выделить последовательность $(y_n) \to 0$ на которой $f'(y_n) = 0$, из чего следует $\lim f'(y_n) = 0$. Но, насколько я понимаю, этого недостаточно чтобы утверждать $f'(0)=0$, поскольку производная не обязана быть непрерывной.
Была мысль, что может быть теорема Дарбу о промежуточном значении позволит наложить необходимое ограничение, но тут тоже как-то не выходит.

Другой заход, это написать по определению

$$f'(0) = \lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x}$$

но дальше тоже непонятно, что с этим делать. Мы знаем, что этот предел существует, но как доказать, что он равен нулю?

[B@R5uk]

Попробуйте от противного по определению производной. Там в малой выколотой окрестности нуля функция будет строго отличаться от нуля, что приведёт к противоречию с условием задачи.

[Null]

Dedekind в сообщении #1714777 писал(а):

Мы знаем, что этот предел существует, но как доказать, что он равен нулю?

Есть еще предел функции по Гейне.
.

[Mikhail_K]

Dedekind в сообщении #1714777 писал(а):

Другой заход, это написать по определению

$$f'(0) = \lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x}$$

Именно так и нужно. Используйте связь с пределами последовательностей (определение предела функции по Гейне)

[Dedekind]

B@R5uk
Ага, действительно, все было просто. Спасибо!

[Someone]

Dedekind в сообщении #1714777 писал(а):

А вот с $f'(0)=0$ застрял.

Раз уж производная в нуле существует, то по определению существует некий (конечный) предел. Дальше вспоминаем про эквивалентность пределов по Коши и по Гейне… Теорема Ролля, по-моему, не понадобится.

[Dedekind]

Null, Mikhail_K
По Гейне я же правильно понимаю, что рассуждения какие-то такие? Поскольку предел

$$f'(0) = \lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x}$$

существует, то для любой последовательности, сходящейся к нулю, он будет равен одному и тому же значению $f'(0)$. Теперь берем исходную последовательность $(x_n)$, и получаем

$$f'(0) = \lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x} = \lim \dfrac{f(x_n)}{x_n} = 0$$

[Mikhail_K]

Dedekind
Да, так. Только "для любой последовательности, сходящейся к нулю и не содержащей нуля"

[Dedekind]

Mikhail_K в сообщении #1714787 писал(а):

Только "для любой последовательности, сходящейся к нулю и не содержащей нуля"

Да, конечно. Все время забываю про это уточнение:)