Теорема Коши о среднем значении

[Dedekind]

Теорема: пусть функции $f$ и $g$ непрерывны на $[a,b]$ и дифференцируемы на $(a,b)$ и при этом для всех $x\in (a,b): g'(x) \ne 0$. Тогда существует точка $c\in(a,b)$ такая что

$$\dfrac{f'(c)}{g'(c)} = \dfrac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$$

Вопрос: насколько необходимо условие $g'(x)\ne 0$ именно на всем интервале, и нельзя ли его ослабить? Скажем, потребовать, чтобы $g(b) - g(a) \ne 0$ и $g'(c)\ne 0$ только в той точке $c$, в которой выполняется $(f(b) - f(a))g'(c) = (g(b) - g(a))f'(c)$?

Вот, например, в википедии https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_valu ... ue_theorem приведен пример на картинке, для которого первое условие не выполняется: как минимум, в верхней части кривой есть точка с $g'(t) = 0$. Но теорема для этой кривой все равно работает.

[dgwuqtj]

Можно вообще не требовать $g'(x) \neq 0$ и $g(a) \neq g(b)$, всё и так работает. Просто может так быть, что в точке $c$ выполнится $f'(c) = g'(c) = 0$.

[Dedekind]

dgwuqtj
Но в таком случае не получается геометрическая интерпретация: "наклон прямой через крайние точки равен наклону касательной", верно?

[dgwuqtj]

Почему не получается? Просто касательная может быть вертикальной, а может проходить через особую точку. Во втором случае слово "касательная" нужно понимать творчески.

[Dedekind]

dgwuqtj в сообщении #1714450 писал(а):

Во втором случае слово "касательная" нужно понимать творчески.

Например? Вот, допустим, пример из википедии: $f(t) = t^3, g(t) = 1 - t^2$. Как тут понимать касательную в $t=0$?

Вложение:

Screenshot 2026-01-11 152444.png

И второй вопрос: зачем тогда вообще в формулировках пишут это ограничение?

[Mikhail_K]

Dedekind в сообщении #1714455 писал(а):

И второй вопрос: зачем тогда вообще в формулировках пишут это ограничение?

Потому что в прямом смысле слова без него теорема (в форме равенства двух отношений, в какой она обычно и используется) неверна. В том же примере на картинке в Википедии (с красной секущей и зелёной касательной) вполне может получиться так, что хотя касательная и существует, но в точке касания $f^\prime(c)=g^\prime(c)=0$ и равенство в теореме Коши не выполнено, так как левая часть в нём не имеет смысла. Это будет означать просто, что при движении точки $(f(t),g(t))$ по кривой с течением времени $t$ скорость этого движения в точке $c$ падает до нуля - такая "остановка на мгновение". Собственно, об этом там в тексте рядом с рисунком и сказано. А если кривая вообще негладкая, с изломами, тогда и нужной касательной может не найтись.

[dgwuqtj]

Dedekind в сообщении #1714455 писал(а):

Как тут понимать касательную в $t=0$?

Во-первых, касательной будем называть любую прямую, проходящую через особенность (в алгебраической геометрии это прямо по определению, там касательное пространство — не прямая, а вся плоскость). Во-вторых, речь идёт не про кривую как множество точек, а про путь, то есть отображение из интервала в плоскость, пусть даже с точностью до гладких обратимых замен переменной. И если путь вида $t \mapsto (0, t^3)$, то при $t = 0$ всё равно будет особенность. В каспе, как на картинке, как раз такая ситуация: у кривой как множества точек касательная вертикальная, а у пути особенность.

[Dedekind]

Mikhail_K в сообщении #1714457 писал(а):

В том же примере на картинке в Википедии (с красной секущей и зелёной касательной) вполне может получиться так, что хотя касательная и существует, но в точке касания $f^\prime(c)=g^\prime(c)=0$ и равенство в теореме Коши не выполнено, так как левая часть в нём не имеет смысла.

Да, я это понимаю, на ноль делить нельзя. Просто dgwuqtj сказал, что

dgwuqtj в сообщении #1714437 писал(а):

Можно вообще не требовать $g'(x) \neq 0$ и $g(a) \neq g(b)$, всё и так работает.

Вот я и удивился, как так.

Mikhail_K в сообщении #1714457 писал(а):

В том же примере на картинке в Википедии (с красной секущей и зелёной касательной) вполне может получиться так, что хотя касательная и существует, но в точке касания $f^\prime(c)=g^\prime(c)=0$ и равенство в теореме Коши не выполнено, так как левая часть в нём не имеет смысла.

Ну вот для данной кривой касательная есть, и деления на ноль нет, все в порядке. И, тем не менее, я же правильно понимаю, что формально она не подпадает под условие теоремы

Dedekind в сообщении #1714436 писал(а):

Теорема: пусть функции $f$ и $g$ непрерывны на $[a,b]$ и дифференцируемы на $(a,b)$ и при этом для всех $x\in (a,b): g'(x) \ne 0$. Тогда существует точка $c\in(a,b)$ такая что

$$\dfrac{f'(c)}{g'(c)} = \dfrac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$$

потому что где-то в другой ее точке $g'(x) = 0$?
Поэтому и был вопрос из стартового сообщения, можно ли ослабить условие вот так:

Dedekind в сообщении #1714436 писал(а):

Скажем, потребовать, чтобы $g(b) - g(a) \ne 0$ и $g'(c)\ne 0$ только в той точке $c$, в которой выполняется $(f(b) - f(a))g'(c) = (g(b) - g(a))f'(c)$?

чтобы и деления на ноль не возникало, и такие кривые тоже рассматривать?

[Mikhail_K]

Dedekind в сообщении #1714464 писал(а):

Ну вот для данной кривой касательная есть, и деления на ноль нет, все в порядке.

Для данной кривой тоже деление на ноль может быть (а может не быть), хоть касательная и есть:

Mikhail_K в сообщении #1714457 писал(а):

В том же примере на картинке в Википедии (с красной секущей и зелёной касательной) вполне может получиться так, что хотя касательная и существует, но в точке касания $f^\prime(c)=g^\prime(c)=0$ и равенство в теореме Коши не выполнено, так как левая часть в нём не имеет смысла. Это будет означать просто, что при движении точки $(f(t),g(t))$ по кривой с течением времени $t$ скорость этого движения в точке $c$ падает до нуля - такая "остановка на мгновение". Собственно, об этом там в тексте рядом с рисунком и сказано.

К одной и той же картинке могут приводить разные пары функций $(f(t),g(t))$, отличающиеся "темпом" прохождения этой кривой на разных промежутках времени. И для некоторых из этих пар функций в некоторый момент времени этот темп может упасть до нуля - тогда в этой точке $t=c$ будет $f^\prime(c)=g^\prime(c)=0$, "остановка на мгновение". И может оказаться так, что это как раз точка проведения касательной

[Dedekind]

Mikhail_K в сообщении #1714465 писал(а):

И для некоторых из этих пар функций в некоторый момент времени этот темп может упасть до нуля - тогда в этой точке $t=c$ будет $f^\prime(c)=g^\prime(c)=0$, "остановка на мгновение". И может оказаться так, что это как раз точка проведения касательной

Но это условие исключает же такие случаи?

Dedekind в сообщении #1714436 писал(а):

Скажем, потребовать, чтобы $g(b) - g(a) \ne 0$ и $g'(c)\ne 0$ только в той точке $c$, в которой выполняется $(f(b) - f(a))g'(c) = (g(b) - g(a))f'(c)$?

-- 11.01.2026, 16:32 --

dgwuqtj в сообщении #1714463 писал(а):

Во-первых, касательной будем называть любую прямую, проходящую через особенность (в алгебраической геометрии это прямо по определению, там касательное пространство — не прямая, а вся плоскость).

То есть, по такому определению, в этом каспе бесконечное количество касательных? В том числе, и с наклоном 0, поэтому теорема и выполняется?

[dgwuqtj]

Dedekind в сообщении #1714468 писал(а):

То есть, по такому определению, в этом каспе бесконечное количество касательных? В том числе, и с наклоном 0, поэтому теорема и выполняется?

Именно так.

[Dedekind]

dgwuqtj в сообщении #1714469 писал(а):

Именно так.

Понятно, спасибо!

[Mikhail_K]

Dedekind в сообщении #1714468 писал(а):

Но это условие исключает же такие случаи?

Dedekind в сообщении #1714436 писал(а):

Скажем, потребовать, чтобы $g(b) - g(a) \ne 0$ и $g'(c)\ne 0$ только в той точке $c$, в которой выполняется $(f(b) - f(a))g'(c) = (g(b) - g(a))f'(c)$?

Ну, из существования точки $c$ такой, что $(f(b) - f(a))g'(c) = (g(b) - g(a))f'(c)$ и справедливости $g(b) - g(a) \ne 0$ и $g'(c)\ne 0$ в этой точке, разумеется, следует, что для этой точки $c$ справедливо $\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$.

-- 11.01.2026, 18:09 --

Просто обычно теорему Коши и формулируют, и доказывают без упоминания равенства $(f(b) - f(a))g'(c) = (g(b) - g(a))f'(c)$. Это часто удобно, и тогда формулировка теоремы Коши как она есть - вполне естественна.

[Dedekind]

Mikhail_K
Да, вопрос был в том, можем ли мы этим условием заменить условие теоремы так, чтобы расширить набор возможных кривых, к которым она применима? Или, условно говоря, там вылезут какие-то подводные камни, которые я упустил?

[Mikhail_K]

Dedekind
Да, можем, но тогда удобнее её вообще формулировать не на языке равенства отношений, а на языке $(f(b) - f(a))g'(c) = (g(b) - g(a))f'(c)$. Это будет короче и яснее.