колебания системы

[realeugene]

Alex Krylov в сообщении #1714443 писал(а):

И тогда искомые собственные частоты - это квадратные корни собственных значений матрицы $A$.

Most1k в сообщении #1714271 писал(а):

Ответ выразите в с -1 и округлите до целых.

Не знаю, откуда взята задача, но она, явно, не на отработку общих методов, а на развитие воображения. По условию рассматривается одна заданная мода колебаний.

И вообще, игнорировать симметрии неграмотно. Ввиду наличия оси симметрии рассматриваемой моды колебаний, центральная точка центральной пружины неподвижна, и её можно зафиксировать. Дальше задача по сути на устный счёт.

[Alex Krylov]

Коллеги, нам ничего не мешает подставить в выражения для $E,U,L$ выше $\theta_2=-\theta_1$ (или $\theta_2=\theta_1$) и получить одно ДУ: $\ddot{\theta_1}+(\frac{3k}{2m}+\frac{g}{l})\theta_1=0$
($\ddot{\theta_1}+(\frac{k}{m}+\frac{g}{l})\theta_1=0$).

Но это ж было б совсем просто.

[Alex Krylov]

Да, и конечно же можно было обойтись без упоминания формализма Лагранжа вообще, просто посчитав полную производную энергии по времени, которая согласно Закону сохранения энергии должна быть равна нулю:
$T=E+U=\operatorname{const};\\ \frac{d}{dt}T(\theta_1(t),\theta_2(t),\dot{\theta_1}(t),\dot{\theta_2}(t)) = \frac{\partial T}{\partial \theta_1} \dot{\theta_1} + \frac{\partial T}{\partial \theta_2} \dot{\theta_2} + \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta_1}} \ddot{\theta_1} + \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta_2}} \ddot{\theta_2}= 0$