Коллоквиум по (линейной) алгебре

[cxzbsdhwert]

nnosipov в сообщении #1714259 писал(а):

Да, векторные пространства в приличных учебных заведениях рассматриваются сразу над произвольным полем скаляров.

В учебнике Винберга, по которому, как я понимаю читались лекции тоже сначала даются алгебраические структуры, да и на опубликованных семинарах, которые, правда, за другой год.

Более того, там ещё сначала даётся теория определителей, в других учебниках даже вроде только затем векторные пространства, и только потом метод Гаусса.
Вам как преподавателю наверное с опытом виднее, но для меня, по крайней мере в первый раз это всё изучающему в той последовательности которую изложил Лектор, было удивительно, что вообще излагаться моглось как-то иначе.

Например, изучая материал в такой последовательности, я за долго до теоремы Крамера (которая вообще последняя лекция), после лекций про ранг предвосхитил критерий совместимости-определённости отличный от Кронекера-Капелли, а именно что СЛУ совместна если ранг её матрицы коэффициентов (столбцовый в частности) равен числу строк, а число столбцов больше либо равно числу строк; в частности, если число строк равно числу столбцов (и равно рангу) то СЛУ ещё и определена. Я даже хотел здесь задать вопрос, но дошёл черёд лекции по теореме Крамера.
Так что не знаю, по-моему материал даётся естественно.

-- 09.01.2026, 20:57 --

Combat Zone
Не подскажите, в задаче "Элементы матрицы равны $1±$ . Доказать, что ее определитель – число четное." из программы которую Вы выслали решение такое? :

(Оффтоп)

В определителе факториал слагаемых, факториал всегда чётен. Слагаемых половина с плюсом половина с минусом (по теореме о том что в множестве перестановок половина чётных половина нечётных), но слагаемые - произведения единиц или минус единиц, обе, которые, тем менее нечётны. И тогда получается чётная сумма-разность нечётных, а это сумма чётного числа нечётных - чётна

И задача 8 пункт а) там только показать что определитель будет суммой алгебраических дополнений $A_{11}+A_{12}$ или нужно дальше копать?

[пианист]

(спойлер)

cxzbsdhwert
Про произвольное поле скаляров было не с целью порассуждать на тему, как надо учить студентов.
Это Вам уважаемый nnosipov дал подсказку: линейное пространство может быть не только над $\mathbb R$.

[cxzbsdhwert]

пианист
Это про задачу с вычёркиванием строки чтобы по всем столбцам сумма чётной была?

Цитата:

линейное пространство

Я знаю что такое арифметическое векторное пространство, что такое подпространство и что такое линейное подмногообразие.

[пианист]

cxzbsdhwert в сообщении #1714361 писал(а):

Это про задачу с вычёркиванием строки чтобы по всем столбцам сумма чётной была?

Да

cxzbsdhwert в сообщении #1714361 писал(а):

Я знаю что такое арифметическое векторное пространство, что такое подпространство и что такое линейное подмногообразие.

Векторное пространство, имел в виду.

[cxzbsdhwert]

пианист

Цитата:

после чего сумма чисел в каждом столбце будет четной.

Вы же наверное задачу понимаете, не могли бы уточнить, имеется же в виду по отдельности? То есть сумма чисел в первом столбце будет чётной, отдельно сумма чисел во втором столбце будет чётной и т.д.?

-- 09.01.2026, 23:39 --

Я вроде не писал, но ещё была мысль, что можно все чётные элементы матрицы заменить на нули, а все нечётные на единицу или минус единицу (для отрицательных нечётных), и это никак не повлияет на чётность сумм по столбцам.
Сегодня подумал что наверное можно заменить на ноль и только единицы.

[cxzbsdhwert]

Можно тогда ещё типо если есть две единицы, то не складывать их а вычетать. Ну или можно так складывать, чтобы $1+1$ было ноль. Это наверное называется "поле характеристики два", но на алгебре этого не было. Это было мельком на математическом анализе.
Ну и всё равно кроме как удобства я пока пользы от такого представления не вижу. Ладно, подумаю

[Combat Zone]

cxzbsdhwert в сообщении #1714354 писал(а):

Доказать, что ее определитель – число четное." из программы которую Вы выслали решение такое? :

Можно и так. (Считается, что матрица размера 2х2 и больше).

cxzbsdhwert в сообщении #1714354 писал(а):

И задача 8 пункт а) там только показать что определитель будет суммой алгебраических дополнений $A_{11}+A_{12}$ или нужно дальше копать?

Не совсем понятно. Требуется найти значение. Число, то есть.

[пианист]

cxzbsdhwert в сообщении #1714364 писал(а):

имеется же в виду по отдельности?

Да, разумеется, по отдельности. А как иначе? Сказано же, "сумма чисел в каждом столбце".

По поводу рассуждений: тепло; большего сказать не могу - правила форума. Добавлю только: еще раз поразмыслите над данными уважаемым nnosipov двумя подсказками.

[cxzbsdhwert]

пианист
Ну я повторюсь что на алгебре алгебраических структур ещё не было. Понятие поля, характеристики поля были мельком даны на математическом анализе.

Наверное тогда нужно заменить все чётные на ноль а все нечётные на единицы, то есть рассматривать матрицу над (почему "над"?) полем характеристики "два".
Тогда возвращаясь к моим рассуждениям на прошлой странице, если матрицу транспонировать и рассматривать соответствующую ей СЛУ то столбец свободных членов уже можно представить не в абстрактном виде $2b_1,2b_2,...$, а в конкретном — просто в виде нулей.
Тогда получается однородная СЛУ с числом неизвестных большим чем число уравнений, ну а это означает, что СЛУ совместима но не определена.

Значит есть вектора решений из нулей и единиц (где ноль означает что мы вычёркиваем строку) помимо такого у которого все значения нули (который есть у любой однородной СЛУ), у которых не все значения нули, то есть не все строки вычёркиваются.

Так? Или есть ещё более элегантный ответ в этом направлении? Или это вообще неправильный ответ?

-- 10.01.2026, 11:11 --

пианист в сообщении #1714371 писал(а):

Да, разумеется, по отдельности. А как иначе?

Ну может в сумме по всем столбцам.

[пианист]

cxzbsdhwert в сообщении #1714379 писал(а):

Так?

Знаете, я в некотором замешательстве, можно ли считать предъявленный текст решением (стало быть, с уверенностью сказать, что нет, тоже не могу).
Давайте подождем авторитетного мнения.

[cxzbsdhwert]

пианист в сообщении #1714388 писал(а):

можно ли считать

Слишком примитивно? Есть более красивое решение?

И ещё по этому решению: если мы перешли к другому полю и теперь в столбце свободных членов по сути не нули из множества вещественных чисел, а другие элементы, у них просто обозначения совпадают, то что если СЛУ с таким столбцом уже не однородна?
Мы ведь вводили определение однородной СЛУ на конкретном поле $\mathbb R$.
Если мы рассматриваем другое поле, то может элементы которые также обозначаются как нули, то есть имея такую же "форму", имеет тем не менее, иное "содержание", то есть в поле нет таких нулей, как бы по содержанию как в $\mathbb R$.
Или тогда это не поле? Должна быть операция сложения и нейтральный элемент к ней.

Тогда если формулировать абстрактно, то однородная СЛУ над произвольным полем $F$, это СЛУ, столбец свободных членов которой состоит из нейтральных элементов по операции сложения (именно сложения, а не умножения)?

Ну и типо конечное поле, которое мы рассмотрели из элементов $\{\text{чёт},\text{нечёт}\}$ и заданной на нём операции сложения $+:F\times F \rightarrow F: \{(\text{чёт},\text{чёт})\rightarrow \text{чёт}, (\text{нечёт},\text{чёт})\rightarrow \text{нечёт}, (\text{чёт},\text{нечёт})\rightarrow \text{нечёт}, (\text{нечёт},\text{нечёт})\rightarrow \text{чёт}\}$ имеет нейтральный элемент по операции сложения - $\text{чёт}$, он же, просто обозначаясь другим символом - $0$, и тогда СЛУ над таким полем $F$ и таким нейтральным по сложению элементом во всех строках столбца свободных членов будет однородной, ну и значит последующие соображения верны?

[Padawan]

cxzbsdhwert
А задачу про $101$ корову Вы разве не с помощью перехода к полю $\mathbb F_2$ решали?

[cxzbsdhwert]

Padawan
Ну теперь получается что может быть да, но точно не думая явно о "поле характеристики два".
Я точно решал прямолинейно - рассматривал СЛУ из меньшего нечётного числа уравнений, например из пяти, каждое из четырёх неизвестных - половина с плюсом, половина с минусом, и каждое уравнение без одной переменной (с нулевым множителем). Все уравнения равны нулю. Ну и потом я по-моему просто выразил переменные методом Гаусса. Но точно не помню как я решал. И вообще это характеристика три получается.
Помню что думал о том, что гири (в формулировке Семинариста который эту задачу дал были гири) можно рассматривать с количественной и качественной стороны, то есть каждая по одной единице неизвестной массы ну и как-то дальше по-моему ещё развил рассуждения.
Там просто ещё была рядом немного, но похожая задача с лекции которую я решал, и на неё больше внимания потратил (хотя я её фактически не решил, а просто придумал визуальное представление дающее понять каков ответ):

(Оффтоп)

Пусть $v_{ij}=e_i-e_j$, где $e$ - вектора стандартного базиса. Найти размерность подпространства порождаемого $<v_{ij}> i,j=1,...,n$ индексы пробегают независимо.

Получилось

(Оффтоп)

$n-1$