Электростатика

[rusfbm]

Электростатика как канон из локальности, дуальности и явного контроля ориентации (форма-нотация / дискретный аналог)

Я предлагаю обсудить электростатику в записи, максимально близкой к стандартной математической физике (дифференциальные формы или дискретный аналог на клеточном комплексе), но с одной принципиальной дисциплиной, которую обычно держат «в голове»: явный контроль ориентации и знаков при смене конвенции.

В классике электростатика задаётся системой

$$\nabla\times \mathbf{E}=0,\qquad \nabla\cdot \mathbf{D}=\rho,$$

а при конститутивной связи (например, в вакууме) $\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}$ получается уравнение Пуассона для потенциала. Это известно. Мой интерес в другом: показать, что при фиксированном минимальном классе допущений «локальная теория поля первого порядка» электростатический канон получается не как соглашение, а как единственная совместимая форма.

0) Рамка: что я считаю минимальными структурами

(0.1) Локальность и оператор $d$.
Я рассматриваю поле на носителе локальности: либо гладкая область, либо клеточный комплекс. В обоих случаях есть оператор «границы/внешней производной» $d$ с фундаментальным свойством

$$d\circ d=0.$$

Это не физическая гипотеза, а структурная цена самого понятия «контур/граница».

(0.2) Дуальность $*$ и ветвь ориентации.
Операторы, которые в векторном анализе выглядят как $\nabla\times$ и $\nabla\cdot$, в форме-нотации (и в дискретном внешнем исчислении) выражаются композициями через $d$ и дуальность $*$ (Hodge-* или дискретный аналог).
Я делаю ориентацию явной: фиксирую ветвь $\pi_{\rm fix}$ и переключение конвенции $\mathrm{rev}(\pi_{\rm fix})$ со знаковым законом

$$m_{\rm sign}(\pi_{\rm fix})\in\{+1,-1\},\qquad \mathrm{rev}(\pi_{\rm fix})\Rightarrow m_{\rm sign}\mapsto -m_{\rm sign}.$$

и требую для дуальности

$$*_{\mathrm{rev}(\pi_{\rm fix})}=m_{\rm sign}(\pi_{\rm fix})\,*_{\pi_{\rm fix}}.$$

Это не добавляет новой физики; это устраняет неявные «перевороты знаков».

(0.3) “Вихрь” как оператор, а не как метафора.
Я фиксирую операторную дефиницию:

$$\Gamma_{\pi_{\rm fix}}:=*_{\pi_{\rm fix}}\circ d.$$

В подходящем ранге это и есть строгий аналог «rot/curl», где зависимость от ориентации вынесена в явный протокол.

(0.4) Корневая запись уравнений поля.
В форме-нотации канон Максвелла записывается как

$$dF=0,\qquad dG=J.$$

и сразу даёт структурное следствие

$$dJ=d(dG)=0.$$

То есть закон сохранения источника здесь является совместимостью с $d^2=0$, а не отдельной «добавкой».

(0.5) Электростатика как режим.
Под электростатикой я понимаю статический режим (в L2-записи: $\partial_t=0$) и отсутствие токовой части в рассматриваемой постановке ($\mathbf{J}=0$). Остаётся плотность заряда $\rho$ как источник.

1) Что именно я хочу обсудить на форуме
1) предъявить минимальный набор структурных допущений (локальность, первый порядок, линейность, явная ориентация/знак);
2) вывести из них канон электростатики в L2-записи:

$$\nabla\times \mathbf{E}=0,\qquad \nabla\cdot \mathbf{D}=\rho;$$

3) указать, где именно «умирают» альтернативы: какое допущение нарушено (локальность, первый порядок, линейность, ориентационный контроль);
4) отдельно оговорить границы: локальная потенциальность vs глобальная топология (многосвязность/ко-гомология).

Если удобно, я могу вести изложение параллельно в двух языках: (а) стандартная форма-нотация $(d,*,F,G,J)$, (б) моя ветвево-типизированная запись, нужная только для дисциплины знаков и запрета скрытых склеек (то, что обычно «прячут» в соглашениях).

2) Текст (сжатая версия). Глава 1. Что я фиксирую до любых “формул”

2.1) Минимальные объекты и типизация
Я фиксирую:
— ветвь ориентации $\pi_{\rm fix}$, её инволюцию $\mathrm{rev}(\pi_{\rm fix})$ и закон знака $m_{\rm sign}$ (см. выше);
— оператор локальности $d$ с $d\circ d=0$;
— дуальность $*_{\pi_{\rm fix}}$ с ветвевым законом;
— корневые поля $F,G$ и источник $J$ в записи $dF=0,\ dG=J$.

Отдельно я развожу «электрическое» и «дуальное ему» как типы (условно M/R), чтобы запретить молчаливую перестановку компонентов при смене конвенции: любая перестановка обязана быть явной и согласованной с ветвью.

2.2) Почему $d\circ d=0$ не обсуждается
Как только я говорю «контур/граница/обход», я обязан принять $d^2=0$. Любая теория, в которой это не так, перестаёт быть локальной теорией контура и превращается в произвольную алгебру символов.

2.3) Где здесь “вихрь”
«Вихрь» я определяю операторно: $\Gamma_{\pi_{\rm fix}}:=*_{\pi_{\rm fix}}\circ d$. При смене ветви знак меняется предсказуемо через $m_{\rm sign}$, поэтому любые формулы с “rot/div” больше не зависят от неявного «правила правой руки».

2.4) Электростатика как редукция канона
В статике корневые уравнения сводятся к электростатическому содержанию:
— из $dF=0$ получается замкнутость соответствующей 1-формы $E$, а значит (локально, на стягиваемой области) $E=-d\varphi$ и в L2-записи $\nabla\times\mathbf{E}=0$;
— из $dG=J$ при отсутствии токовой части получается закон источника для “потоковой” компоненты $D$, то есть $\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho$, а совместимость $dJ=0$ встроена автоматически.

2.5) Контроль качества (минимальные гейты)
Я явно проверяю:
(ES1) $d\circ d=0$ (структура комплекса);
(ES2) ветвевой закон $*_{\mathrm{rev}}=m_{\rm sign}*_{\pi}$;
(ES3) запрет скрытых склеек: любое отождествление/«склейка» должна быть явной операцией, иначе это ошибка;
(ES4) согласованность источника: из $dG=J$ следует $dJ=0$.

3) Как я предлагаю вести обсуждение дальше
В следующих сообщениях я:
— (Глава 2) распишу аккуратно L2-проекцию и покажу, где именно появляются $\nabla\times$ и $\nabla\cdot$ как композиции через $d$ и $*$ (а не как постулаты);
— (Глава 3) сформулирую «жёсткость» класса электростатики: любая альтернатива, остающаяся локальной, линейной и первого порядка при явной ветвевой дисциплине, эквивалентна канону с точностью до допустимой смены представления (локальная перебазировка/переориентация, согласованная с $d$ и законом знака).

Вопрос к участникам:
какие минимальные допущения вы считаете корректными для «класса электростатики» (локальность, первый порядок, линейность, область/топология), чтобы утверждение о жёсткости имело смысл, и где вы ожидаете тонкие места (например, глобальная ко-гомология, особенности носителя, условия применимости леммы Пуанкаре)?

[Ende]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы)

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (Ф)»
Причина переноса: не указана.

[rusfbm]

Глава 2. Строгая L2-проекция в статике: как из $dF=0$ и $dG=J$ неизбежно получаются $\operatorname{curl}\mathbf{E}=0$ и $\operatorname{div}\mathbf{D}=\rho$

1) Нотация, чтобы не было “ошибок по соглашению”
Я использую знак $\star_{\pi_{\mathrm{fix}}}$ как обозначение ветвезависимой дуальности (Hodge-\(\star\) или её дискретный аналог). Это именно оператор дуальности, а не знак умножения.
Переключение конвенции я обозначаю как $\operatorname{rev}(\pi_{\mathrm{fix}})$ и фиксирую знаковую дисциплину:

$$\star_{\operatorname{rev}(\pi_{\mathrm{fix}})} \;=\; m_{\mathrm{sign}}(\pi_{\mathrm{fix}})\,\star_{\pi_{\mathrm{fix}}}, \qquad m_{\mathrm{sign}}(\pi_{\mathrm{fix}})\in\{+1,-1\}.$$

2) Что я называю L2-проекцией
Под L2-проекцией я понимаю фиксированный выбор «наблюдаемого представления», в котором:
— поля выражаются в привычных пространственных величинах (векторные поля и скаляры);
— операторы ротора и дивергенции не вводятся как примитивы, а получаются из \(d\) и \(\star_{\pi_{\mathrm{fix}}}\) как композиции, с явным контролем ориентации (ветвью \(\pi_{\mathrm{fix}}\)).

3) Где живут величины в статике (ранги)
Чтобы операторы имели строгий смысл, я работаю на 3D-носителе локальности (локально).
В форме-нотации:
— потенциал $\varphi$ — 0-форма;
— поле $E$ — 1-форма;
— потоковая величина $D$ — 2-форма;
— плотность заряда $\rho$ — 3-форма.
В дискретном DEC это соответствует 0-,1-,2-,3-коцепям на клеточном комплексе.

4) Определения “curl” и “div” как композиций
4.1) Ротор (вихрь) электрического поля
Для 1-формы $E$ я определяю:

$$\operatorname{curl}_{\pi_{\mathrm{fix}}}(E)\;:=\;\star_{\pi_{\mathrm{fix}}}\bigl(dE\bigr).$$

Здесь $dE$ — 2-форма, а дуальность переводит её в представление “ротора” при выбранной ветви.

4.2) Дивергенция для потоковой 2-формы
В форме-нотации для 2-формы $D$ естественная “дивергенция” есть просто взятие внешней производной:

$$dD\ \text{(3-форма)}.$$

В привычной векторной записи это соответствует утверждению $\operatorname{div}\mathbf{D}=\rho$ после стандартной идентификации потоковой 2-формы с векторным полем потока (через метрику и \(\star\)).

4.3) Что делает ветвь с знаками
Из закона

$$\star_{\operatorname{rev}(\pi_{\mathrm{fix}})} = m_{\mathrm{sign}}\,\star_{\pi_{\mathrm{fix}}}$$

следует, что ротор как оператор меняется предсказуемо:

$$\operatorname{curl}_{\operatorname{rev}(\pi_{\mathrm{fix}})}(E)=m_{\mathrm{sign}}\,\operatorname{curl}_{\pi_{\mathrm{fix}}}(E).$$

Это ровно то место, где в “школьной” записи знак обычно прячется в правиле правой руки.

5) Электростатика как режим
Под электростатикой я фиксирую статический режим:
— $\partial_t=0$;
— токовая часть отсутствует (в простейшей постановке $\mathbf{J}=0$);
— остаётся только зарядовая часть источника $\rho$.

6) Вывод первого уравнения электростатики: \(\operatorname{curl}\mathbf{E}=0\)
Корневое тождество $dF=0$ в статике даёт замкнутость соответствующей электрической компоненты:

$$dE=0.$$

Тогда по определению ротора получаю:

$$\operatorname{curl}_{\pi_{\mathrm{fix}}}(E)=\star_{\pi_{\mathrm{fix}}}(dE)=0.$$

В стандартной L2-нотации это и есть:

$$\operatorname{curl}\mathbf{E}=0.$$

7) Вывод второго уравнения электростатики: \(\operatorname{div}\mathbf{D}=\rho\)
Второе корневое уравнение:

$$dG=J$$

в статике редуцируется к зарядовой части. При L2-раскладке потоковая компонента дуального поля соответствует $D$, а источник соответствует $\rho$. Поэтому:

$$dD=\rho.$$

В привычной записи это эквивалентно:

$$\operatorname{div}\mathbf{D}=\rho.$$

И сразу следует структурная совместимость (встроенный “закон сохранения” в статике):

$$d\rho=d(dD)=0,$$

что является прямым следствием \(d\circ d=0\).

8) Всех с Новым годом! Понимаю, праздник великий!
Но все-таки, что мешает Вам включиться?

1) Непонятно, где здесь “содержательное”, и всё выглядит как пересказ дифференциальных форм?
2) Мешает моя терминология про ветвь \(\pi_{\mathrm{fix}}\) и контроль знаков — и вы хотите обсуждать только в стандартной нотации?
3) Есть конкретное математическое возражение (например, к месту, где я утверждаю жёсткость класса допустимых локальных теорий)?

[rusfbm]

3. Жёсткость электростатики: почему «альтернативная локальная теория первого порядка» не возникает

Я закрываю тему тем, ради чего её начал: фиксирую класс допущений, в котором электростатический канон получается не как традиция записи, а как единственно совместимая форма. Мой вклад здесь не в «новых уравнениях», а в явной дисциплине ориентации и знака, которую обычно держат неформально (правило правой руки, молчаливые переориентации, неявные отождествления).

1) Класс допущений (внутри него и доказывается «жёсткость»)

(а) Локальность: все операторы используют только локальную смежность носителя (многообразие или клеточный комплекс).
(б) Первый порядок: базовые уравнения используют только оператор границы/дифференцирования и дуальность (никаких «вторых производных» как первичного кирпича).
(в) Линейность по полям и источникам.
(г) Структура комплекса: существует оператор

$$d$$

со свойством

$$d\circ d=0.$$

(д) Дуальность с явной ветвью ориентации: существует оператор

$$\star_{\pi_{\rm fix}}$$

и переключение ветви

$$\pi_{\rm fix}\mapsto \mathrm{rev}(\pi_{\rm fix})$$

с контролируемым законом знака

$$\star_{\mathrm{rev}(\pi_{\rm fix})}=m_{\rm sign}(\pi_{\rm fix})\,\star_{\pi_{\rm fix}},\qquad m_{\rm sign}(\pi_{\rm fix})\in\{+1,-1\}.$$

(е) Запрет неявных «склеек» (hidden join): любое отождествление, которое меняет носитель/топологию/идентичность локальных элементов, должно быть вынесено в явную операцию, а не прятаться в «переобозначении».

2) Канон электростатики как единственная форма в этом классе

В статическом режиме электростатика в L2-нотации имеет вид

$$\nabla\times \mathbf{E}=0,\qquad \nabla\cdot \mathbf{D}=\rho.$$

В моей рамке это получается так: я не постулирую «вихревой оператор» как отдельный символ, а задаю его композицией через структуру комплекса и дуальность. В частности, «вихрь» (оператор вихревого типа) фиксируется как

$$\Gamma_{\pi_{\rm fix}}:=\star_{\pi_{\rm fix}}\circ d.$$

Тогда в статике условие замкнутости соответствующего объекта даёт

$$\Gamma_{\pi_{\rm fix}}(\mathbf{E})=0,$$

что при стандартной распаковке и даёт

$$\nabla\times \mathbf{E}=0.$$

Уравнение источника в статике сводится к скалярной плотности заряда и даёт вторую формулу канона:

$$\nabla\cdot \mathbf{D}=\rho.$$

Смысл ветвевой дисциплины в том, что при смене конвенции знак дуальности меняется предписанно, а не «по вкусу», и всякий знак в композициях контролируется законом для

$$\star_{\pi_{\rm fix}}.$$

3) Что значит «эквивалентно канону»: допустимая смена представления

Я отделяю изменения записи от изменений содержания. «Эквивалентно канону» означает: существует локальная смена представления (перебазировка/переориентация) по рангам, согласованная с оператором

$$d,$$

то есть выполняется соотношение

$$T_{k+1}\circ d=d\circ T_k.$$

Такие преобразования не меняют наблюдаемый L2-канон при фиксированной ветви и не вводят нелокальных склеек.

4) Теорема жёсткости (смысловая формулировка)

Если теория удовлетворяет допущениям пункта 1 и воспроизводит тот же наблюдаемый электростатический L2-канон, то она приводится к стандартной форме

$$\nabla\times \mathbf{E}=0,\qquad \nabla\cdot \mathbf{D}=\rho$$

с точностью до допустимой (локальной и ветвесогласованной) смены представления. Внутри этого класса нет «другой электростатики»: есть только другая запись той же структуры либо снятие одного из допущений.

5) Два типовых «контрпримера» и где они выходят из класса

Пример А: добавление второго порядка в закон источника

$$\nabla\cdot \mathbf{D}=\rho+\alpha\,\Delta \rho.$$

Это уже не первый порядок как базовый уровень, значит это другая постановка (другой класс теорий).

Пример Б: нелокальная добавка через интегральный вклад по области. Это снимает локальность и уходит из заявленного класса.

6) Вопрос к участникам (почему нет активности)

Я намеренно формулирую всё максимально близко к стандартной математической физике. Новизна здесь только в том, что я делаю явными знаки и ориентации и запрещаю неявные склейки, которые обычно прячутся в «соглашениях».

Поэтому у меня два прямых вопроса:

(1) Какое именно допущение из пункта 1 вы считаете лишним, если цель — сохранить локальность и первый порядок?
(2) Если вы считаете, что в этом классе существует неэквивалентная альтернатива канону, прошу предъявить её в явном виде и указать, какое допущение при этом сохраняется и почему.