Обратная матрица с сужением: как красиво посчитать?

[B@R5uk]

У меня есть симметричная положительно определённая матрица G (полученная умножением транспонированной матрицы A на себя, но не суть):

$$G=G^T,\qquad G\in\mathbb{R}^{n\times n}$$

а так же матрица C небольшого количества ортонормированных столбцов, образующих вместе со столбцами матрицы D ортогональную матрицу B базисных столбцов всего пространства (I — единичная):

$$B^TB=BB^T=I_n,\qquad B\in\mathbb{R}^{n\times n},\qquad B=\bigl(C\;\;D\bigr),\qquad C\in\mathbb{R}^{n\times p},\qquad D\in\mathbb{R}^{n\times(n-p)},\qquad p\ll n$$

То есть, данная по условию матрица C задаёт одно подпространство, а матрица D — другое, ортогональное первому, но в котором надо работать.

Вопрос такой: как красиво посчитать матрицу:

$$H=D\left(D^TGD\right)^{-1}D^T$$

Дело в том, что исходными данными для расчёта искомой матрицы H являются матрицы C и G. Но в явную формулу для H входит промежуточная величина — матрица D, которая рассчитывается по матрице C, причём неоднозначно. Если взять произвольную обратимую матрицу Q и с помощью неё от D перейти к новой D', то формула не изменится:

$$D'=DQ$$

$$H=D\left(D^TGD\right)^{-1}D^T=DQQ^{-1}\left(D^TGD\right)^{-1}Q^{-T}Q^TD^T=$$ $$=D'(Q^TD^TGDQ)(DQ)^T=D'\left(D'^TGD'\right)^{-1}D'^T$$

То есть матрица H инвариантна относительно выбора D, причём даже не обязательно, чтобы последняя была ортонормированная. Хотелось бы от этой избыточности в расчёте избавиться. Так же факт того, что число столбцов p матрицы C много меньше размерности пространства n, намекает на то, что использование матрицы D в расчёте H довольно нерационально.

Я уже долго пытаюсь придумать, как выразить H только через G и C, но ничего вразумительного пока не получается. Один тривиальный случай, когда матрица G является единичной решается легко:

$$D\left(D^TI_nD\right)^{-1}D^T=D\left(D^TD\right)^{-1}D^T=D\left(I_{n-p}\right)^{-1}D^T=DI_{n-p}D^T=DD^T=I_n-CC^T$$

Последнее равенство следует из разложения для B:

$$I_n=BB^T=\bigl(C\;\;D\bigr)\bigl(C\;\;D\bigr)^T=CC^T+DD^T$$

Ещё я пробовал посмотреть что получится для H при попытке представить её в виде спектрального разложения, но что-то ничего путного не приходит в голову. Ну, кроме того, что у неё есть кратное (кратности p) нулевое собственное значение и соответствующее ему подпространство, задаваемое столбцами матрицы C.

Следующее, что мне приходит в голову — это попытаться прикрутить формулу Шермана-Моррисона для модифицированной обратной матрицы. Но эта формула подразумевает, что обе матрицы — исходная и обратная — являются невырожденными, что в моём случае неверно: уменьшение размерности G при переходе к H означает зануление пачки строк и столбцов. Это означает, что эту формулу надо сначала допилить до чего-то псевдообратного в духе Мура-Пенроуза.

Подскажите, пожалуйста, что ещё можно придумать, чтобы выразить H через C и G? Может я пропустил/не заметил что-то очевидное, например в спектральном разложении?