Обобщение интегральной формулы Коши

[Cone200]

Доброго времени суток.

Есть обобщение интегральной формулы Коши на случай неголоморфной функции класса $C^1$:
$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{\partial D}\frac{f(\zeta)d\zeta}{\zeta-z}-\frac{1}{2\pi i}\iint\limits_D\frac{\partial f(\zeta)}{\partial \bar{\zeta}}\frac{d\bar\zeta \wedge d\zeta}{\zeta-z},\;z\in D$
Я ее под разными названиями встречал. Не знаю какое общепринятое. Неважно.
Вопрос в том, почему вообще сходится второй интеграл? Производная перед дробью непрерывная по условию. Если перейти к другим переменным интегрирования $|\zeta|$ и $\arg \zeta$, то особенность в знаменателе все равно останется (тем более точка $z$ произвольная в области $D$).
И второй вопрос, с которым я даже не знаю что делать. Допустим я хочу вычислить производную $\frac{\partial f}{\partial\bar{z}}$. Функция неголоморфная, должно что-то ненулевое получиться. Первый интеграл при таком дифференцировании ничего не даст. Под интегралом непрерывная функция, задана она на кривой $\partial D$, область $D$ ограниченная, по переменной $z$ всё голоморфное. Вносим производную под интеграл, получаем нуль. Под второй интеграл производную, видимо, внести нельзя, но обоснование найти не могу. Есть теоремы, которые разрешают дифференцировать под знаком интеграла. Теорема, которая бы это запрещала, мне что-то на память не приходит.
Подскажите, пожалуйста. Просто хотя бы какие утверждения нужны. Правила читал, полного решения вопроса не прошу. Подсказки бы хватило. Заранее спасибо!

[dgwuqtj]

Cone200 в сообщении #1711467 писал(а):

Вопрос в том, почему вообще сходится второй интеграл?

Он абсолютно сходится: $\int_{|z| \leq 1} \frac{dx\, dy}{|z|} = \int_0^1 \int_0^{2 \pi} d\varphi\, dr = 2 \pi$.

Cone200 в сообщении #1711467 писал(а):

Под второй интеграл производную, видимо, внести нельзя, но обоснование найти не могу.

А что вы хотите получить? После дифференцирование под знаком интеграла получится что-то расходящееся, так что будет просто бессмысленная формула.

[Padawan]

Cone200 в сообщении #1711467 писал(а):

Вопрос в том, почему вообще сходится второй интеграл?

Потому что он мажорируется сходящимся интегралом $\iint_D\frac{d\xi d\eta}{|\zeta-z|}\;\; (\zeta=\xi+i\eta)$.

Cone200 в сообщении #1711467 писал(а):

Под второй интеграл производную, видимо, внести нельзя, но обоснование найти не могу.

Потому что интеграл несобственный, поэтому нельзя. Функция $\frac{1}{\pi z}$ является фундаментальным решением уравнения $\frac{\partial \varphi}{\partial \bar z}=0$, то есть $\frac{\partial}{\partial \bar z}\frac{1}{\pi z}=\delta(z)$ в смысле теории обобщенных функций, где $\delta(z)$ -- двумерная дельта-функция. Это можно увидеть из равенства

$$ f(z)=-\frac{1}{\pi }\iint\limits_{\mathbb C}\frac{\partial f(\zeta)}{\partial \bar{\zeta}}\frac{d\xi d\eta}{\zeta-z} $$

которое справедливо для финитной $f\in C^\infty (\mathbb C)$ (это и есть обсуждаемая формула Коши-Помпею). Так что все сходится: дифференцируем под знаком интеграла, получаем свертку с дельта-функцией, получаем нужный нам ответ $\frac{\partial f}{\partial \bar z} (z)$.

[Cone200]

dgwuqtj, Padawan, спасибо за ответ!
Про сходимость интеграла понятно. Даже обидно, что сам не увидел.

dgwuqtj в сообщении #1711505 писал(а):

После дифференцирование под знаком интеграла получится что-то расходящееся

Вот тут как раз и неясность. Казалось бы, под интегралом вообще ничего с $\bar z$ нет. Нуль должен получиться. Остальная часть подынтегрального выражения зависит от других переменных.

Padawan в сообщении #1711506 писал(а):

Потому что интеграл несобственный, поэтому нельзя.

В теории потенциалов тоже интегралы несобственные, но их дифференцируют. Один-то раз точно дифференцируют. Насколько я помню, там при втором только дифференцировании начинаются проблемы. Это я вспомнил проверку того, что объемный потенциал уравнению Пуассона удовлетворяет. Там дельта-функция тоже возникает.
Т.е. всё-таки как понять из исходной формулы, что там нельзя просто взять и вычислить производную по $\bar z$?

И вдогонку.

Padawan в сообщении #1711506 писал(а):

$\frac{\partial}{\partial \bar z}\frac{1}{\pi z}=\delta(z)$ в смысле теории обобщенных функций

Интересное равенство. Оно следует только из того равенства, которое Вы привели, или есть способ его ещё как-то получить? Для меня оно совершенно неочевидное. Хотя это скорее по отсутствию опыта в этой области. Если это долго расписывать, то может это в книге какой-нибудь есть?

[Padawan]

Cone200 в сообщении #1711536 писал(а):

Т.е. всё-таки как понять из исходной формулы, что там нельзя просто взять и вычислить производную по $\bar z$?

А по $x$ почему нельзя, понимаете?

-- Ср дек 03, 2025 21:17:12 --

Cone200 в сообщении #1711536 писал(а):

Вот тут как раз и неясность. Казалось бы, под интегралом вообще ничего с $\bar z$ нет. Нуль должен получиться.

Вы же сами вспомнили про объёмный потенциал, удовлетворяющий уравнению Пуассона. Там тоже при вычислении $\Delta$ под знаком интеграла по параметру от $\frac{1}{|x-y|}$ ноль получается. Везде, кроме особой точки $y=x$.

-- Ср дек 03, 2025 21:19:40 --

Cone200 в сообщении #1711536 писал(а):

там при втором только дифференцировании начинаются проблемы

А здесь -- при первом, потому что размерность -- два, а там (в объёмном потенциале) размерность три.

[Cone200]

Padawan в сообщении #1711545 писал(а):

А по $x$ почему нельзя, понимаете?

По $x$ да, увидел. Расходящийся интеграл получится, действительно. Тогда если понимать $\frac{\partial}{\partial\bar z}$ как комбинацию производных по $x$ и по $y$, то и правда нельзя дифференцировать.
Интересно получается. Значит, дифференцирование по $\bar z$ требует особой осторожности. Вроде бы явно она не входит в выражение, но производная ненулевая.

Спасибо!

[Padawan]

Cone200 в сообщении #1711536 писал(а):

Интересное равенство. Оно следует только из того равенства, которое Вы привели, или есть способ его ещё как-то получить?

Да, можно его получить более наглядно. Для любого $\varepsilon>0$ рассмотрим функцию

$$ f_\varepsilon(z)=\begin{cases}\dfrac{1}{\pi z}=\dfrac{\bar z}{\pi|z|^2},\; \text{при } |z|>\varepsilon,\\ \dfrac{\bar z}{\pi\varepsilon^2},\; \text{при } |z|\leqslant\varepsilon\\\end{cases} $$

Тогда $f_\varepsilon (z)\to \dfrac{1}{\pi z}$ при $\varepsilon\to 0$ в пространстве обощенных функций. То есть для любой пробной функции $\varphi\in\mathcal D(\mathbb C)$ выполнено

$$ \lim\limits_{\varepsilon\to 0+0}\iint_{\mathbb C}\varphi(z)f_\varepsilon(z)dxdy=\iint_{\mathbb C}\varphi(z)\frac1{\pi z}dxdy. $$

Значит, $\dfrac{\partial f_\varepsilon}{\partial \bar z}(z)\to \dfrac{\partial}{\partial \bar z}\dfrac{1}{\pi z}$ при $\varepsilon\to 0$. Но функция $f_\varepsilon$ кусочно-гладкая, и её частные производные в смысле обобщенных функций совпадают с обычными производными

$$ \dfrac{\partial f_\varepsilon}{\partial \bar z}(z)=\begin{cases}0,\; \text{при } |z|>\varepsilon,\\ \dfrac{1}{\pi\varepsilon^2},\; \text{при } |z|\leqslant\varepsilon\\\end{cases} $$

Очевидно, что $\dfrac{\partial f_\varepsilon}{\partial \bar z}(z)\to\delta(z)$. Значит, $\dfrac{\partial}{\partial \bar z}\dfrac{1}{\pi z}=\delta(z)$.