Числа с заданным числом делителей как суммы факториалов

[gipokrat]

Обозначим через $d(n)$ количество положительных делителей натурального числа $n$.

Для натурального числа $k \ge 1$ рассмотрим множество чисел, представимых в виде суммы $k$ факториалов:
$n = a_1! + a_2! + \dots + a_k!,$
где все $a_i$ натуральные.

Случай $k = 1$ тривиален: $1! = 1$, и $d(1) = 1$.

Вопрос 1.
Верно ли, что для каждого натурального $k \ge 1$ существует число $n$, представимое в виде суммы $k$ факториалов, такое что
$d(n) = k$?

Иными словами, существует ли для каждого $k \ge 1$ натуральное число с ровно $k$ положительными делителями, которое можно записать в виде суммы ровно $k$ факториалов?

Для малых значений $k$ такие примеры найдены. Например:
$k = 2:\quad 1! + 1! = 2,\ d(2) = 2;$
$k = 3:\quad 1! + 1! + 2! = 4,\ d(4) = 3;$
$k = 4:\quad 2! + 2! + 2! + 2! = 8,\ d(8) = 4;$
$k = 5:\quad 3! + 3! + 2! + 1! + 1! = 16,\ d(16) = 5;$
$k = 6:\quad 3! + 2! + 1! + 1! + 1! + 1! = 12,\ d(12) = 6;$
$k = 7:\quad 4! + 4! + 3! + 3! + 2! + 1! + 1! = 64,\ d(64) = 7.$

Вопрос 2 (уточнение).
Если ответ на вопрос 1 положителен, можно ли получить оценки на минимальное такое число $n = n(k)$ (по росту $n(k)$ в зависимости от $k$)?

[lel0lel]

Может стоит попытаться идти по степеням двойки, складывая предыдущее разложение с самим собой, а затем уменьшать число факториалов до нужного. Например, из

gipokrat в сообщении #1709655 писал(а):

$k = 5:\quad 3! + 3! + 2! + 1! + 1! = 16,\ d(16) = 5;$

получаем
$2^5=3!+3!+3!+3!+2!+2!+1!+1!+1!+1!$ тут есть простор для сворачивания/разворачивания. Например, $2^5=5\cdot 3!+2!=4!+3\cdot 2!+2\cdot 1!$

Только это не к вопросу о наименьших числах, имеющих представление в виде суммы.