Числа с заданным числом делителей как суммы факториалов

[Dmitriy40]

lel0lel в сообщении #1709946 писал(а):

Разменивая факториалы на меньшие их число возрастает.

Не всегда:

x=2^9: [4, 1, 0, 3, 2], k=10
x=2^9: [4, 0, 5, 1, 0], k=10
x=2^16: [1, 5, 0, 0, 0, 1, 0, 10], k=17
x=2^16: [1, 5, 0, 0, 0, 0, 5, 6], k=17
x=2^16: [1, 4, 7, 0, 0, 2, 1, 2], k=17
x=2^16: [0, 13, 0, 0, 0, 2, 2, 0], k=17

Правда это всё не минимальные разложения, с ними так похоже не получается.

[lel0lel]

Dmitriy40 в сообщении #1709948 писал(а):

Правда это всё не минимальные разложения, с ними так похоже не получается.

Да, в минимальном по длине -- это теорема. Оно единственное.

-- Чт ноя 20, 2025 00:54:44 --

mihaild в сообщении #1709757 писал(а):

Никакие степени двойки в интервале $[34, 1000]$ не раскладываются.

Можно подальше проверить. Но интуиция подсказывает, что шансов мало. Это уже из области теории чисел, насколько близко "приближается" старший факториал к степени. Но сейчас об этом не буду, нужно подумать.

[mihaild]

Да, оценка числа слагаемых через разложение по факториальной системе сильно упрощает проверку невозможности. Что интересно - сумма цифр в факториальной системе довольно быстро растёт. На графике - сумма цифр в факториальной записи $p ^ x$, делённая на $x + 1$. Числа выше линии $y = 1$ заведомо непредставимы.

Вложение:

download (35).png