Доказать коммутативность умножения для данной полугруппы

[xoxonut]

Добрый вечер!

Что-то у меня уже долго не получается решить задачу.

$S - \text{полугруппа, причем} \quad \exists k \in \mathbb{N}: a^{k+1}=a и ab^ka=ba^kb \quad \forall a,b \in S $
Нужно доказать коммутативность умножения.

Чтобы не ошибиться я хотел просто преобразовать $ab \rightarrow ba$.

$ab = (ab)^k a a^k b = a (ba)^k a a^{k-1} b = ba a^k b a a^{k-1} b = baba^kb = ba^2b^ka$

Один из многих вариантов, которые я попробовал, но выглядит не очень хорошо, мне кажется.
Подскажите пожалуйста

[dgwuqtj]

Так а в чём проблема? У вас ведь $a^2 = a$ и $(b a)^2 = b a$.

[mihaild]

Возьмем полугруппу верхнетреугольных матриц $n \times n$ с нулями на диагонали, и $k = n$ ($n$-я степень любой такой матрицы равна нулю). Тогда во всех равенствах из условиях все части равны нулевой матрицы. Но полугруппа, очевидно, не коммутативная.

[Null]

Там буква "и" улетела - поправил

xoxonut в сообщении #1707472 писал(а):

$S - \text{полугруппа, причем} \quad \exists k \in \mathbb{N}: a^{k+1}=a$ и $ab^ka=ba^kb \quad \forall a,b \in S $

[xoxonut]

Null
Ойй... Спасибо
mihaild
Я в условии опечатался, поэтому контрпример не подойдёт для $a^k a = a$
dgwuqtj
А это с исправленным условием?

[dgwuqtj]

xoxonut в сообщении #1707496 писал(а):

А это с исправленным условием?

Нет, я почему-то подумал, что на $k$ квантор всеобщности.

-- 29.10.2025, 11:50 --

Если подставить $b = a^2$ во второе тождество, то получится $a^2 = a^4$. Отсюда и из первого тождества будет $a^2 = a$ при нечётном $k$ и $a^3 = a$ при чётном $k$. Так что оба тождества можно упростить и свестись к случаям $k = 1$ и $k = 2$.

[mihaild]

$a^k = a^{2k}$ (домножим первое равенство на $a^{k - 1}$)
Подставив $b = a^k$ во второе, получаем $a^{2 + k^2} = a^{3k}$, откуда $a^2 = a^k$
$a^3 = a^{k+1} = a$
Так что $a^3 = a$ при любом $k$, и достаточно даже ограничиться $k = 2$.

[xoxonut]

dgwuqtj, mihaild
С k=1 все понятно, а с k=2 тоже просто решается?
Просто примерно то же самое выходит, что и просто с натуральным k (то есть ничего не получается)
В духе $ab = \ldots = ba^2b^2a$, появилась как бы коммутативность $(ab)(ba)=(ba)(ab)$, ну и как-то я ничего придумать не могу

[dgwuqtj]

При $k = 2$ применим второе тождество к парам $(a, a b)$ и $(a b, b)$, получится $a a b a b a = a b a b = b a b a b b$. Умножим на $b$ справа, будет $a a b = b a b a b$. Вот из этого тождества и симметричного к нему следует центральность $a^2$.

[xoxonut]

Вроде как-то так. Спасибо большое! (а вдруг неправильно )

$S$ - полугруппа

$ \exists k \in \mathbb{N}: \forall a, b \in S \implies a^k a = a \land ab^ka = ba^kb\\ k = 1\\ aba = aaba = abab = ab, bab = bbab = baba = ba\\ \quad\\ k \neq 1\\ a^k(a^k)a^k = a^{k-1} (a a^k a^k) = a^k = a^k = a^2 = a^2 a^k \ldots a^k = a (a^{k^2}) a\\ \implies\\ \forall a, b \in S \implies a^2 a = a \land ab^2a = ba^2b\\ a(ab)^2a=a^2 baba = ab (a^2) ab = abab | \cdot b\\ b(ab)^2b=baba b^2 = ab (b^2) ab = abab | \cdot b\\ a(ab)^2 ab = a^2 b = ababb = baba b^2 b = babab\\ b \cdot | b(ba)^2b=b^2 abab = baba\\ b \cdot | a(ba)^2a=abab a^2 = baba\\ babab = bbaba = baa = ba^2\\ \implies\\ \forall a, b \in S \implies a^2 b = b a^2\\ ab = (ab)^2 ab = a(ba)^2a ab = ba a^2 ba ab = baba^2b = ba ab^2a = ba^2b^2a = bb^2a^2a =ba$