Одна алгебраическая структура, которую я ищу

[Altenter]

Здравствуйте.
Есть некоторые результаты умножения из таблицы умножения базисных векторов:
$ i(-i)=-1, (-i)i=1, j(-j)=-1, (-j)j=1, k(-k)=-1, (-k)k=1, ij=-k, jk=-i, ki=-j, (-i)(-k)=j, (-k)(-j)=i, (-j)(-i)=k, i^2=j^2=k^2=1, (-i)^2=(-j)^2=(-k)^2=-1 $,
необходимо достроить таблицу умножения базисных векторов. Можно рассматривать ее как 4 элемента со знаком $\pm$ или как 8 без знака, если таблицы умножения для структуры при этом не получится, то можно добавлять минимальное количество элементов или удваивать количество элементов, чтобы получилась таблица умножения, главное, чтобы в нее вписались перечисленные умножения. Возможно в ней есть противоречие или неоднозначность. Если взять 8*8, то у нас есть совсем не густо, всего 18+14=32 умножения из 64, т.е. половина, по которым необходимо восстановить таблицу умножения базисных единиц алгебраической структуры.

[dgwuqtj]

Если у вас там имеется в виду четырёхмерная алгебра над полем $\mathbb R$ с базисом $1, i, j, k$, то первые два равенства друг другу противоречат.

[Altenter]

dgwuqtj в сообщении #1706123 писал(а):

Если у вас там имеется в виду четырёхмерная алгебра над полем $\mathbb R$ с базисом $1, i, j, k$, то первые два равенства друг другу противоречат.

Спасибо. У меня не имеется виду никакая алгебра, это долго рассказывать, но я пытаюсь построить алгебру квантовой пены на основе эвристических соображений и феноменологических законов. Она включает в себя хаос. Хаос я уже построил)

Прошу не считать меня сумасшедшим прям так сходу. Могу поделиться хаосом и идеей квантовой пены и всеми эвристическими соображениями и феноменологией, и тогда, отталкиваясь от них, может быть кто-то построит саму квантовую пену.

[dgwuqtj]

Вы бы математическую часть сформулировали для начала. Что такое базисные векторы? Если просто элементы некоего множества, то что хочется от умножения? Ассоциативность и коммутативность не выполняются.

[Altenter]

dgwuqtj в сообщении #1706126 писал(а):

Вы бы математическую часть сформулировали для начала. Что такое базисные векторы? Если просто элементы некоего множества, то что хочется от умножения? Ассоциативность и коммутативность не выполняются.

Что хочется, тут ответ на вопрос строится не в математических категориях. Есть компактная структура. Эти умножения взяты из нее, за исключением знака при 1, в них есть сомнения. Хочется, чтобы эта структура развернулась и заполнила пространство. Сама она представляет собой компактный хаос, или монаду хаоса или минимальную структуру, включающую хаос. Очень похожа на таблицу умножения кватернионов, но не она. Если ее размножить и множеством таких структур заполнить пространство, то получится квантовая пена.

Структура выглядит так: f(a)=b, f(b)=c, f(c)=a; -f(a)=c;-f(b)=a,-f(c)=b. Если выделить ее в векторном пространстве, то это будет 6 векторов i,j,k,(-i).(-j),(-k) образованных 3-мя точками (по сути эйлеров граф). Теперь, что такое в этой структуре единица: любое перемещение по векторам, возвращающее в исходную (или эквивалентную точку) - это 1. Вот пока рассматриваем исходные 3 точки и смотрим теперь, что такое хаос. Начиная движение от любой точки, например a, мы можем вернуться в нее, пройдя по структуре до остановки в исходной точке любое натуральное количество векторов, кроме 1. Т.е. структура содержит пути длины которых выражаются всеми натуральными числами - это и есть хаос. Можно убрать любые два векора с разными буквами и хаос сохранится, т.е. его можно построить и на 4-х векторах, но он может реализоваться не от любой вершины графа. Если это понятно, то можете составить таблицу умножения базисных векторов этой структуры. Квантовая пена - это заполненное подобныыми структурами пространство, где они соединяются в точках, внутри структуры не определены умножения ii,jj,kk,-i-i,-j-j,-k-k. Как раз они отвечают за выход за пределы этой структуры и переход в эквивалентную точку пространства, которое заполнено копиями этой структуры. Пройти любое количество векторов и вернуться в исходную точку можно как внутри компактной структуры, так и по эквивалентным точкам вне ее, т.е. у каждого внутреннего пути длины n, возвращающего в исходную точку, есть отображение на путь вне структуры, которое возвращает в исходную точку.

Необходимо найти алгебраическую структуру, описывающую все, что здесь было сказано. Есть сомнения насчет -1, для нее нет внятного описания, это может быть: переход в зеркальную структуру от исходной или пути по часовой стрелке и по преимущественно положительным векторам -1, а против часовой и по преимущественно отрицательным 1, или переход в исходную точку 1, а в эквивалентную -1, или что-то еще.

Что такое по аналогии мнимая единица? Два противонаправленных вектора на 2-х точках i и -i. Переход по векторам - это бинарная операция их умножения. i(-i)=1, т.к. возвращает в исходную точку, откуда $i^2=-1$. Здесь $i^2$ - это переход в эквивалентную началу движения точку за пределы структуры из 2=х векторов в другую такую же структуру.

[mihaild]

Altenter в сообщении #1706130 писал(а):

Структура выглядит так: f(a)=b, f(b)=c, f(c)=a; -f(a)=c;-f(b)=a,-f(c)=b

Начинать нужно с того, какие вообще операции есть. Пока что понятно, что есть две унарные операции $f$ и $-$. Вторую половину условий лучше переписать, используя первую половину: $-b = c$, $-c = a$, $-a = b$. Таким образом, понятно как операции определены на $\{a, b, c\}$. Заодно видно, что $-x = f(x)$.
Дальше смысл полностью теряется - что такое "выделить алгебраическую структуру в векторном пространстве", что такое "вектора, образованнные точками", причем тут какие-то графы, что такое "перемещение по векторам" и т.д. - непонятно.
Вы же начали читать Винберга - посмотрите у него, как нужно определять понятия, чтобы Вас понимали.

[Altenter]

mihaild в сообщении #1706131 писал(а):

Дальше смысл полностью теряется - что такое "выделить алгебраическую структуру в векторном пространстве"

Спасибо. Это значит выделить конкретные вектора, образующие алгебраическую структуру из бесконечного множества векторов векторного пространства, какие это вектора - описано: любые 6 векторов на 3-х любых точках, на каждой паре точек 2 противонаправленных вектора.

mihaild в сообщении #1706131 писал(а):

что такое "вектора, образованнные точками", причем тут какие-то графы, что такое "перемещение по векторам" и т.д. - непонятно.

Каждый вектор определяется 2 точками - его концами и направлением. На 2-х точках 2 противонаправленных вектора в структуре. Представьте себе 2 точки и два противонаправленных вектора, для одного вектора одна точка будет его началом, а для другого - его концом и наоборот для другой точки. Вектор - это направленный отрезок. Можно рассматривать, последовательность векторов, когда конец предыдущего совпадает с началом последующего, как путь в направленном графе. А саму алгебраическую структуру в векторном пространстве как направленный граф.

mihaild в сообщении #1706131 писал(а):

Вы же начали читать Винберга - посмотрите у него, как нужно определять понятия, чтобы Вас понимали.

Ну я же только начал....

[mihaild]

Altenter в сообщении #1706135 писал(а):

Выделить конкретные вектора, образующие алгебраическую структуру из векторного пространства, какие это вектора - описано

Нет, не описано. Описана отдельно структура (с носителем из трех элементов и двумя (совпадающими) унарными операциями), и отдельно выписаны 6 векторов (кстати если хочется задать их тремя точками, то неплохо бы как-то обозначить эти точки, и написать, какой вектор какой паре соответствует). Какая связь между этими векторами и описанной структурой - не сказано.

Altenter в сообщении #1706135 писал(а):

Вектор - это направленный отрезок

Между точками в пространстве. А не между чем угодно и чем угодно.
И это школьное определение. Нормальное есть у того же Винберга - вектора, на самом деле, удобно считать более базовым понятием, чем точки.

Altenter в сообщении #1706135 писал(а):

Ну я же только начал

Вот и продолжайте. Почти наверняка, немного изучив математику, поймете, что никакого смысла Вашим мутным идеям придать нельзя. Но есть и небольшой шанс, что Вы их и сами поймете, и сможете изложить так, чтобы Вас понимали.

[Altenter]

mihaild в сообщении #1706139 писал(а):

Altenter в сообщении #1706135 писал(а):

Выделить конкретные вектора, образующие алгебраическую структуру из векторного пространства, какие это вектора - описано

Нет, не описано. Описана отдельно структура (с носителем из трех элементов и двумя (совпадающими) унарными операциями), и отдельно выписаны 6 векторов (кстати если хочется задать их тремя точками, то неплохо бы как-то обозначить эти точки, и написать, какой вектор какой паре соответствует). Какая связь между этими векторами и описанной структурой - не сказано.

Векторы образуют эту структуру, а какой вектор какой паре соответствует не описано потому, что это не принципиально для понимания того, что такое хаос в этой структуре.

mihaild в сообщении #1706139 писал(а):

Altenter в сообщении #1706135 писал(а):

Вектор - это направленный отрезок

Между точками в пространстве. А не между чем угодно и чем угодно.
И это школьное определение. Нормальное есть у того же Винберга - вектора, на самом деле, удобно считать более базовым понятием, чем точки.

ок.

mihaild в сообщении #1706139 писал(а):

Altenter в сообщении #1706135 писал(а):

Ну я же только начал

Вот и продолжайте. Почти наверняка, немного изучив математику, поймете, что никакого смысла Вашим мутным идеям придать нельзя. Но есть и небольшой шанс, что Вы их и сами поймете, и сможете изложить так, чтобы Вас понимали.

Хорошо, я буду стараться по мере своих сил и возможностей осваивать и излагать более правильно и понятно. Но силы и возможности мои очень ограничены. Однако считаю, что уловить изложенную идею можно уже при данном уровне изложения. Я же ее в конце концов не промяукал, а изложил достаточно подробно и если Вам что-то непонятно, то можете спрашивать и уточнять. По сути была предложена к решению задача на поиск алгебраической структуры и попутно пояснено, что такое хаос и компактная его структура. У Винберга вряд ли об этом говорится.

[mihaild]

Altenter в сообщении #1706144 писал(а):

Однако считаю, что уловить изложенную идею можно уже при данном уровне изложения.

Неправильно считаете.
Почти наверняка никакой идеи на самом деле нет. Но чтобы это стало видно - нужно как раз излагать на нормальном. уровне.

Altenter в сообщении #1706144 писал(а):

Хорошо, я буду стараться по мере своих сил и возможностей осваивать и излагать более правильно и понятно. Но силы и возможности мои очень ограничены

Тогда их стоит тратить на то, что более вероятно принесет какой-то результат. Если интересна математика - то на изучение её основ. Результатом будет хотя бы понимание этих основ.
Шансов на успех существенно больше, потому что у очень многих, пытающихся изучить математику уровня стандартных учебных курсов это получается. А вот что-то придумать в незнакомой области - думаю, пока что за всю историю не получилось ни у кого.

Altenter в сообщении #1706144 писал(а):

По сути была предложена к решению задача на поиск алгебраической структуры

Нет, не была. Такая задача должна состоять в перечислении операций и желаемых свойств.

[Altenter]

mihaild в сообщении #1706146 писал(а):

Altenter в сообщении #1706144 писал(а):

Однако считаю, что уловить изложенную идею можно уже при данном уровне изложения.

Неправильно считаете.
Почти наверняка никакой идеи на самом деле нет. Но чтобы это стало видно - нужно как раз излагать на нормальном. уровне.

Altenter в сообщении #1706144 писал(а):

Хорошо, я буду стараться по мере своих сил и возможностей осваивать и излагать более правильно и понятно. Но силы и возможности мои очень ограничены

Тогда их стоит тратить на то, что более вероятно принесет какой-то результат. Если интересна математика - то на изучение её основ. Результатом будет хотя бы понимание этих основ.
Шансов на успех существенно больше, потому что у очень многих, пытающихся изучить математику уровня стандартных учебных курсов это получается. А вот что-то придумать в незнакомой области - думаю, пока что за всю историю не получилось ни у кого.

Altenter в сообщении #1706144 писал(а):

По сути была предложена к решению задача на поиск алгебраической структуры

Нет, не была. Такая задача должна состоять в перечислении операций и желаемых свойств.

Спасибо за Ваши критические замечания. На мой скромный взгляд было бы очень продуктивно, если бы Вы, были так любезны и излагали некоторые, понятные Вам, фрагменты излагаемой идеи на правильном математическом языке, при этом другие бы быстрее понимали саму идею, а я, повторяя за Вами, использовал бы правильные обозначения и средства для выражения. Одноаременно осваивая как латех, так и саму дисциплину.
1. Вы бы меня разоблачили и показали, что никакой идеи нет или с маленьким шансом бы ее увидели.
2. Я бы научился правильно излагать мысли именно в той ограниченной области, которая меня интересует.
3. Участники бы понимали излагаемый материал и могли присоединяться к обсуждению и делать свои замечания.

[Someone]

Altenter в сообщении #1706149 писал(а):

Спасибо за Ваши критические замечания. На мой скромный взгляд было бы очень продуктивно, если бы Вы, были так любезны и излагали некоторые, понятные Вам, фрагменты излагаемой идеи на правильном математическом языке, при этом другие бы быстрее понимали саму идею

Сделайте всю работу за меня, а я Вам похлопаю!

[Altenter]

Someone в сообщении #1706156 писал(а):

Altenter в сообщении #1706149 писал(а):

Спасибо за Ваши критические замечания. На мой скромный взгляд было бы очень продуктивно, если бы Вы, были так любезны и излагали некоторые, понятные Вам, фрагменты излагаемой идеи на правильном математическом языке, при этом другие бы быстрее понимали саму идею

Сделайте всю работу за меня, а я Вам похлопаю!

Могу не хлопать)

-- 16.10.2025, 23:31 --

Хотелось бы сделать дополнения, но т.к. эта тема для меня имеет уже 16-ти летнюю давность, то анализ и исследование этой структуры не сохранились и придется все восстанавливать по памяти. Если пурга не занесет тему до того как я все восстановлю, то выложу 2 небольших дополнения, в одном сопоставление с реальностью, в другом эвристику и феноменологию и удалюсь из темы, тогда можно будет ее и похоронить. А может кому будет интересно. Тогда готов обсуждать, отвечать на вопросы и принимать критические замечания по теме.

[manul91]

Altenter в сообщении #1706130 писал(а):

Структура выглядит так: f(a)=b, f(b)=c, f(c)=a; -f(a)=c;-f(b)=a,-f(c)=b

Вы кажется, не поняли что вам mihaild сказал.
По вашего определения выходит что унарные операции $f$ и $-$(минус) суть синонимы (их действие на аргумента одно и тоже).
Один из этих значков лишний, и ничего нового не вносит!
Зачем загромождать нотацию с разными значками, обозначающие одно и то же? Достаточно просто $f(a)=b, f(b)=c, f(c)=a$ (или $-b=c;-c=a,-a=b$) но вместе они просто не имеют смысла кроме тавталогии.
Насчет хаоса и остального в таком виде никто вас не поймет - звучит как полную бессмыслицу (или глюки-прозрения после приема легких наркотиков).

[lek]

Altenter в сообщении #1706130 писал(а):

Необходимо найти алгебраическую структуру, описывающую все, что здесь было сказано.

Обратите внимание на расщепляемую алгебру Кэли-Диксона. Если переобозначить ваши базисные векторы $(i,j,k)\to (li,lj,lk)$ и $(-i,-j,-k)\to(i,j,k)$ и сравнить их произведения с произведением соответствующих базисных элементов алгебры К-Д, то найдете ряд совпадений. Отличия связаны с наличием "лишнего" (седьмого) базисного вектора $l$ в алгебре К-Д. В вашей конструкции таких векторов шесть, может имеет смысл добавить еще один?