Аксиома регулярности можно и нужно ли без нее?

[Sender]

Чем же не укладываются, позвольте спросить? Просто не забывайте, что мультимножества -- это не множества, а самостоятельный математический объект со своими собственными свойствами.

[Ende]

Altenter
Не ленитесь оформлять формулы. Нужно писать $\{a,b\}$, а не {a, b} и тем более не [a, b]. Будете пренебрегать этим - снесу тему в Карантин.

$\{a,b\}$

[Anton_Peplov]

Altenter
Мультимножество на множестве $A$ - это просто функция $f \colon A \to \mathbb N$. Для каждого $a \in A$ значение этой функции $n = f(a)$ - это количество вхождений элемента $a$ в мультимножество. Функции прекрасно формализуются в любой теории множеств, и в первых параграфах любого учебника теории множеств показано, как это делается.

[Altenter]

Sender в сообщении #1705828 писал(а):

Чем же не укладываются, позвольте спросить? Просто не забывайте, что мультимножества -- это не множества, а самостоятельный математический объект со своими собственными свойствами.

Вот этим и не укладываются, что их пришлось выкинуть из множеств, т.к. они противоречат каким-то аксиомам и рассматривать как самостоятельный объект, а не как множества.

-- 14.10.2025, 11:22 --

Anton_Peplov в сообщении #1705830 писал(а):

Altenter
Мультимножество на множестве $A$ - это просто функция $f \colon A \to \mathbb N$. Для каждого $a \in A$ значение этой функции $n = f(a)$ - это количество вхождений элемента $a$ в мультимножество. Функции прекрасно формализуются в любой теории множеств, и в первых параграфах любого учебника теории множеств показано, как это делается.

Об этом и шла изначально речь, что можно и функции, и числовые системы, и другие объекты в правильной теории множеств выразить единообразно и рассматривать как структурированные множества, а не как дополнительные объекты, обладаюшие своими свойствами. Бритву Оккама никто не отменял ведь.

[Anton_Peplov]

Altenter
Мультимножество над множеством $A$ - это тоже множество. Только не совпадающее с $A$. Потому что и функция - это множество (см. определение функции). И упорядоченная пара - множество, и натуральное число - множество. В теории множеств без атомов вообще нет ничего, кроме множеств. Вы ломитесь в открытую дверь.

[Altenter]

Anton_Peplov в сообщении #1705835 писал(а):

Altenter
Мультимножество над множеством $A$ - это тоже множество. Только не совпадающее с $A$. Потому что и функция - это множество (см. определение функции). И упорядоченная пара - множество, и натуральное число - множество. В теории множеств без атомов вообще нет ничего, кроме множеств. Вы ломитесь в открытую дверь.

Нет, я пытаюсь пролезть в приоткрытую форточку, но вижу, что без того, чтобы сделать из нее открытую дверь ничего не выйдет.

[Anton_Peplov]

Altenter
Дайте определение функции на языке теории множеств и объясните, чем оно Вас не устраивает.

[Altenter]

Anton_Peplov в сообщении #1705838 писал(а):

Altenter
Дайте определение функции на языке теории множеств и объясните, чем оно Вас не устраивает.

Функция- это отношение между двумя множествами, которое каждому элементу из области определения, ставит ровно один элемент из области значения.

Идея в том, что существует такое множество, подмножествами которого являются и функции, и числовые системы, и т.д.

Тогда функция - это способ взять подмножество из этого всеобъемлющего множества, и числовая система, и вещественные числа, и p-адические числа и т.д. - это лишь способ взять подмножество. И если рассматривать этот способ получения некоего объекта внутри правильной структуры, то и информации можно получить гораздо больше об объекте и его свойствах.

[Anton_Peplov]

Altenter в сообщении #1705842 писал(а):

Функция- это отношение между двумя множествами...

А давайте так: функция - это упорядоченная тройка множеств... Продолжите.

Altenter в сообщении #1705842 писал(а):

Идея в том, что существует такое множество, подмножествами которого являются и функции, и числовые системы, и т.д.

Конечно, существует. Есть множество $\mathbb N$ и множество $\mathbb {N^N}$ функций $\mathbb N \to \mathbb N$. Очевидно, что существует множество $S = \mathbb N \cup \mathbb {N^N}$. Вообще, если есть множества, то есть и их объединение. Другое дело, что сначала нужно доказать, что сами эти множества есть. Если начать с множества "в котором уже есть все что нам нужно", то слишком велик риск нарваться на противоречие, как уже случилось с множеством всех множеств.

-- 14.10.2025, 12:02 --

Altenter в сообщении #1705842 писал(а):

И если рассматривать этот способ получения некоего объекта внутри правильной структуры, то и информации можно получить гораздо больше об объекте и его свойствах.

Откуда Вы знаете, если Вы эту "правильную структуру" не построили, а только смутно фантазируете о ней?

А если построили, так предъявите.

[Altenter]

Anton_Peplov в сообщении #1705843 писал(а):

Altenter в сообщении #1705842 писал(а):

Функция- это отношение между двумя множествами...

А давайте так: функция - это упорядоченная тройка множеств... Продолжите.

в которой каждой паре элементов из первых двух множеств соответствует один элемент из третьего множества.

-- 14.10.2025, 12:14 --

Anton_Peplov в сообщении #1705843 писал(а):

Altenter в сообщении #1705842 писал(а):

И если рассматривать этот способ получения некоего объекта внутри правильной структуры, то и информации можно получить гораздо больше об объекте и его свойствах.

Откуда Вы знаете, если Вы эту "правильную структуру" не построили, а только смутно фантазируете о ней?

А если построили, так предъявите.

$A: \{a_1, a_2, a_3, ............. a_n,........\}$, где $\{ A\leftrightarrow a_1, A \leftrightarrow a_2, A \leftrightarrow a_3, .............A \leftrightarrow a_n,........\}$

[Someone]

Altenter в сообщении #1705819 писал(а):

Его Вы без пустого множества составить не можете, в записи элементов множества это пустое множество Вы опускаете.

Ничего я не опускаю. Пустое множество в разной литературе может обозначаться разными символами: "$\varnothing$", "$\emptyset$", "$0$", "$\Lambda$" и другими. А запись элементов пустого множества выглядит так: $\{\}$.
Если же Вы хотите в каждое множество воткнуть символ $0$, подразумевая под ним пустое множество, то пустое множество у Вас оказывается элементом каждого множества. Но $\{\varnothing\}\neq\varnothing$ и $\{\varnothing,1\}\neq\{1\}$.
И не надо писать фигурные скобки вокруг каждого элемента множества: $\{1\}\neq 1$, $\{\{1\}\}\neq\{1\}$ и $\{\{\{1\}\}\}\neq\{\{1\}\}$.
Радуйтесь, что Вам пытаются что-то объяснить, а не сносят тему в Пургаторий.

-- Вт окт 14, 2025 12:52:17 --

Sender в сообщении #1705821 писал(а):

А мультимножества чем не устраивают?

Мультимножества всем устраивают, но мы обсуждаем теорию множеств, а не мультимножеств.

-- Вт окт 14, 2025 13:18:05 --

Altenter в сообщении #1705845 писал(а):

$A: \{a_1, a_2, a_3, ............. a_n,........\}$, где $\{ A\leftrightarrow a_1, A \leftrightarrow a_2, A \leftrightarrow a_3, .............A \leftrightarrow a_n,........\}$

Опять какая-то абракадабра.

У математиков считается неприличным писать всякие значки, не объясняя, что они означают. Даже если написано для наикрутейших специалистов, которые "всё-всё знают".

[Altenter]

Someone в сообщении #1705851 писал(а):

Если же Вы хотите в каждое множество воткнуть символ $0$, подразумевая под ним пустое множество, то пустое множество у Вас оказывается элементом каждого множества. Но $\{\varnothing\}\neq\varnothing$ и $\{\varnothing,1\}\neq\{1\}$.
И не надо писать фигурные скобки вокруг каждого элемента множества: $\{1\}\neq 1$, $\{\{1\}\}\neq\{1\}$ и $\{\{\{1\}\}\}\neq\{\{1\}\}$.

Цель была формализовать невзятие элемента и заменить его на взятие элемента, состоящего из пустого множества при составлении множества всех подмножеств.
$\{\varnothing, \{\varnothing, 1,2,3\}, \{\varnothing, 4,5,6\}\}$. Под нулями выше да, я подразумевал пустое множество, т.к. не знал как оно пишется в ТЕХе. 0- это ничто, пустота. $\{0\}$ - это множество, единственным элементом которого является пустота или это множество, содержащее $0$ элементов, т.е. пустое множество. В моем понимании $\varnothing \equiv \{0\}$ , но запись со скобками более верная, т.к. графически не отделяет пустое множество от непустых. То, что математики опять же опустили фигурные скобки вокруг пустоты(нуля) и заменили их на перечеркивание нуля, так это они выделили пустое множество, но тем самым нарушили единообразие нотации. Но если Вам удобнее воспринимать написание пустого множества как $\varnothing$, то я готов перейти на эти обозначения, тем более, что подглядел у Вас как это записывается в ТЕХе.

Someone в сообщении #1705851 писал(а):

Altenter в сообщении #1705819 писал(а):

Радуйтесь, что Вам пытаются что-то объяснить, а не сносят тему в Пургаторий.

Да радуюсь я, радуюсь, не переживайте.)

И большое всем, принимающим в моем образовании участникам, спасибо!

-- 14.10.2025, 14:00 --

Someone в сообщении #1705851 писал(а):

Altenter в сообщении #1705845 писал(а):

$A: \{a_1, a_2, a_3, ............. a_n,........\}$, где $\{ A\leftrightarrow a_1, A \leftrightarrow a_2, A \leftrightarrow a_3, .............A \leftrightarrow a_n,........\}$

Опять какая-то абракадабра.

У математиков считается неприличным писать всякие значки, не объясняя, что они означают. Даже если написано для наикрутейших специалистов, которые "всё-всё знают".

$A,a$- множества не удовлетворяющие аксиоме регулярности. стрелка - биекция. Любой элемент множества $A :a_i$ равен множеству $A$ или биективно на него отображается, а это значит, что он сам является множеством, состоящим из элементов, которые являются равными ему и т.д., и т.д.

[Someone]

Altenter в сообщении #1705859 писал(а):

То, что математики опять же опустили фигурные скобки вокруг пустоты(нуля) и заменили их на перечеркивание нуля

Извините, но для меня это звучит как бред.
$\varnothing$ и $\emptyset$ — это просто два (из многих других) обозначения пустого множества, применяемых в разной литературе разными авторами. Никакого "потаённого" смысла в этих обозначениях нет. Иметь специальное обозначение для пустого множества необходимо, так как, во-первых, это константа, необходимая для формулировки аксиом теории множеств, а во-вторых, оно очень часто встречается в любых рассуждениях, касающихся множеств. Каким именно значком обозначать пустое множество, не имеет никакого значения. Если я буду писать статью и напишу в ней, что "будем обозначать пустое множество вот этой закорючкой", то никто возражать не будет. Кроме издательства, у которого в типографии такой "закорючки" может не найтись.

Вам не кажется, что, прежде чем браться за реформирование теории множеств, следует в ней очень хорошо разобраться? И, в частности, понять, что теория множеств может смоделировать практически любую математическую конструкцию.

Altenter в сообщении #1705859 писал(а):

В моем понимании $\varnothing\equiv\{0\}$

В стандартном понимании — нет, и никто вашу "идею" не примет. Потому что она категорически нарушает смысл теории множеств. Множество включает только то, что ему принадлежит, и не нужно пихать в него то, чего в нём нет. Если $\varnothing\notin x$, то $x\cup\{\varnothing\}\neq x$ (конечно, $x\cup\varnothing=x$ для любого множества $x$).

Altenter в сообщении #1705859 писал(а):

$A,a$- множества не удовлетворяющие аксиоме регулярности. стрелка - биекция. Любой элемент множества $A :a_i$ равен множеству $A$ или биективно на него отображается, а это значит, что он сам является множеством, состоящим из элементов, которые являются равными ему и т.д., и т.д.

Извините, но это тоже бред. Каждый элемент множества равен ему самому, следовательно, все элементы множества равны, а так как Вы в каждое множество впихнули ещё и пустое множество, то, следовательно, все они равны пустому множеству, и все множества — пустые. Шикарно. Вселенная, в которой ничего нет.

Я бы сказал, что Вы договорились до Пургатория, но это как модератор решит.

[Altenter]

Someone в сообщении #1705865 писал(а):

Altenter в сообщении #1705859 писал(а):

То, что математики опять же опустили фигурные скобки вокруг пустоты(нуля) и заменили их на перечеркивание нуля

Извините, но для меня это звучит как бред.
$\varnathing$ и $\emptyset$ — это просто два (из многих других) обозначения пустого множества, применяемых в разной литературе разными авторами. Никакого "потаённого" смысла в этих обозначениях нет. Иметь специальное обозначение для пустого множества необходимо, так как, во-первых, это константа, необходимая для формулировки аксиом теории множеств, а во-вторых, оно очень часто встречается в любых рассуждениях, касающихся множеств. Каким именно значком обозначать пустое множество, не имеет никакого значения. Если я буду писать статью и напишу в ней, что "будем обозначать пустое множество вот этой закорючкой", то никто возражать не будет. Кроме издательства, у которого в типографии такой "закорючки" может не найтись.

Обозначения обусловливаются конвенцией. Тут я с Вами согласен. Но единообразность и унификация обозначений - это благо. Достаточно уже того, что 0 - это особый элемент среди чисел и имеет свой значек, чтобы с его помощью обозначить особое пустое множество.

Someone в сообщении #1705865 писал(а):

Вам не кажется, что, прежде чем браться за реформирование теории множеств, следует в ней очень хорошо разобраться? И, в частности, понять, что теория множеств может смоделировать практически любую математическую конструкцию.

Я понимаю, что теория множеств может смоделировать почти любую конструкцию. Но опять же, цель- унификация и единообразие всех конструкций, уменьшение до минимума понятий и определений.
Понимаю, что прежде чем браться за что-то и реформировать что-то, надо очень хорошо в этом разобраться, но у меня мало времени, чтобы разбираться и если этим заниматься основательно, то на реформы его не останется)))

Someone в сообщении #1705865 писал(а):

Altenter в сообщении #1705859 писал(а):

В моем понимании $\varnothing\equiv\{0\}$

В стандартном понимании — нет, и никто вашу "идею" не примет. Потому что она категорически нарушает смысл теории множеств. Множество включает только то, что ему принадлежит, и не нужно пихать в него то, чего в нём нет. Если $\varnothing\notin x$, то $x\cup\{\varnothing\}\neq x$ (конечно, $x\cup\varnothing=x$ для любого множества $x$).

Не совсем понял, что Вы имеете ввиду. Не по ошибке ли Вы перечеркнули значек принадлежности?
Мне кажется у Вас тут парадокс. Если пустое множество не входит в качестве элемента во множество, то объединение множества и пустого множества не равно множеству, а это объединение всегда равно множеству, следовательно пустое множество всегда входит в множество в качестве элемента, жирным добавлено мной. Или я неправильно понимаю? По сути, Вы доказали мою правоту?

Someone в сообщении #1705865 писал(а):

Altenter в сообщении #1705859 писал(а):

$A,a$- множества не удовлетворяющие аксиоме регулярности. стрелка - биекция. Любой элемент множества $A :a_i$ равен множеству $A$ или биективно на него отображается, а это значит, что он сам является множеством, состоящим из элементов, которые являются равными ему и т.д., и т.д.

Извините, но это тоже бред. Каждый элемент множества равен ему самому, следовательно, все элементы множества равны, а так как Вы в каждое множество впихнули ещё и пустое множество, то, следовательно, все они равны пустому множеству, и все множества — пустые. Шикарно. Вселенная, в которой ничего нет.

Я показал, что это не так в первом посте, потому, что из Вселенной в которой ничего кроме скобок нет, извлекаем кусочки: натуральные, вещественные, функции и т.д. и они от этого извлечения появляются и мы с ними работаем. И не только мы их можем извлекать, поэтому Вселенная состоит из этих обрывков, которые подчиняются закономерностям и законам.

[Altenter]

Someone в сообщении #1705865 писал(а):

В стандартном понимании — нет, и никто вашу "идею" не примет. Потому что она категорически нарушает смысл теории множеств. Множество включает только то, что ему принадлежит, и не нужно пихать в него то, чего в нём нет. Если $\varnothing\notin x$, то $x\cup\{\varnothing\}\neq x$ (конечно, $x\cup\varnothing=x$ для любого множества $x$).

В целом эту проблему можно разрешить 2-мя способами, естественным: приняв, что $x\cup\{\varnothing\}\neq x$ и аксиоматическим: введя аксиому: любое множество всегда включает в качестве элемента пустое множество, причем только одно. Разрешать ее естественным способом Вы не хотите, т.к. :

Someone в сообщении #1705865 писал(а):

В стандартном понимании — нет, и никто вашу "идею" не примет. Потому что она категорически нарушает смысл теории множеств.Множество включает только то, что ему принадлежит, и не нужно пихать в него то, чего в нём нет.

https://yandex.ru/video/preview/13157418879902522553

Т.е., что суслик там есть, Вы принимать не хотите, значит остается неестественный, аксиоматический способ.

Множества не включающего пустого множествва в качестве элемента не существует, поэтому все, что вы написали - не может быть. И ни к какому существующему множеству, уже включающему пустое множество в качестве элемента Вы не можете добавить еще одно пустое множество в силу аксиомы: Любое множество всегда включает в качестве элемента пустое множество, причем только одно.

Естественный способ более предпочтителен.

-- 14.10.2025, 16:28 --

Ende в сообщении #1705829 писал(а):

Altenter
Не ленитесь оформлять формулы. Нужно писать $\{a,b\}$, а не {a, b} и тем более не [a, b]. Будете пренебрегать этим - снесу тему в Карантин.

$\{a,b\}$

Спасибо, что стимулируете меня писать правильно.