Смысл операции свёртки

[Mihaylo]

Я не математик, поэтому прошу как-нибудь пояснить теоретический аппарат свёртки. Мне непонятны интегралы.

$(f*g)(x) =^{def} \int\limits_{\mathbb{R}^n}f(x)g(x-y)dy = \int\limits_{\mathbb{R}^n}f(x-y)g(y)dy$

Отсюда: https://ru.wikipedia.org/wiki/Свёртка_(математический_анализ)

Понятно:
1. Почему над тождеством написано "def" - дефиниция свёртки.
2. Что значит $\mathbb{R}^n$ и интеграл по этому пространству.

Непонятно:
1. Почему два интеграла равны?
2. Почему $f, g, f*g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, хотя тут есть две переменные $x$ и $y$? Они входят в $n$ переменных?
3. Смысл свёртки
4. Зачем она нужна была аж Эйлеру в 18 веке и остальным позже?

[svv]

1. У Вас неточность, в первом интеграле должно быть $f(y)$. Множитель $f(x)$ просто выносился бы за интеграл как константа.
Пусть $n=1$. Сделаем замену $y = x-t$:

$$\int\limits_{y=-\infty}^{\infty}f(y)\,g(x-y)\,dy = \int\limits_{t=\infty}^{-\infty}f(x-t)\,g(t)\,d(-t) = \int\limits_{t=-\infty}^{\infty}f(x-t)\,g(t)\,dt = \int\limits_{y=-\infty}^{\infty}f(x-y)\,g(y)\,dy$$

В последнем переходе переменная интегрирования $t$ просто переименована в $y$.
При $n>1$ аналогично.

-- Вс окт 12, 2025 20:35:16 --

2. В последнее время пошла мода никак не выделять векторы, ни шрифтом, ни дополнительными значками. Например, $x\in\mathbb R^n$. При этом $x=(x_1,...,x_n)$.

Под $dy$ здесь понимается элемент объёма в $\mathbb R^n$:
$dy = dy_1\,dy_2...dy_n$.
Пишут также $dV(\mathbf y), \; d^n\mathbf y, \; dy_1\wedge dy_2\wedge\ldots\wedge dy_n$. Как только не пишут.

Может быть, вот так более привычно:
$(f*g)(\mathbf x)=\int\limits_{\mathbb{R}^n}f(\mathbf y)\,g(\mathbf x-\mathbf y)\,dV(\mathbf y) = \int\limits_{\mathbb{R}^n}f(\mathbf x-\mathbf y)\,g(\mathbf y)\,dV(\mathbf y)$
Все три функции $f, g, f*g$ — скалярнозначные функции векторного аргумента.

[skobar]

Mihaylo в сообщении #1705641 писал(а):

2. Почему $f, g, f*g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, хотя тут есть две переменные $x$ и $y$? Они входят в $n$ переменных?

Вы интегрируете по $y$, после чего результат интегрирования зависит только от $x$. Разумеется, здесь оба $x$ и $y$ из $\mathbb{R}^n$

Mihaylo в сообщении #1705641 писал(а):

3. Смысл свёртки

Свертка превращает пространство $L^{1}(\mathbb{R})$ в алгебру (свертка двух суммируемых функций опять будет суммируемой, в отличие от их произведения). Свертка хорошо связана с преобразованием Фурье: преобразование Фурье свертки есть произведение преобразований Фурье. Свертка возникает в диффурах, например, в построении гармонической функции в единичном круге в $\mathbb{R}^2$ с заданными граничными значениями на единичной окружности (решением будет свертка с ядром Пуассона) (в этом конкретном примере, правда, используется немного другая свертка, лучше взять аналогичную задачу для верхней полуплоскости) . Полезных приложений масса.

[amon]

Mihaylo в сообщении #1705641 писал(а):

3. Смысл свёртки
4. Зачем она нужна была аж Эйлеру в 18 веке и остальным позже?

Например, есть у Вас заряд$\rho(x),$ как-то размазанный по всему пространству и должным образом (достаточно быстро) убывающий на бесконечности. Тогда потенциал в некоторой точке, как учат начиная с 18 века (как правило, безуспешно), будет

$$\varphi(x)=\int d^3y\frac{\rho(y)}{|x-y|},$$

то есть это свертка двух функций. Такие конструкции сплошь и рядом встречаются в физике и не только (почему - другая история) и вполне заслуживают отдельного внимания.

[Mihaylo]

Свёртка, видимо, обладает какими-то математическими свойствами, что получила название отдельное? Там куча линейных свойств, как посмотреть...

[skobar]

Небольшой ликбез по свертке:
https://youtu.be/t5mfo-mQiPU?si=7dpjgeaHSdimk4rO

[Евгений Машеров]

Mihaylo в сообщении #1705641 писал(а):

Непонятно:
1. Почему два интеграла равны?
2. Почему $f, g, f*g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, хотя тут есть две переменные $x$ и $y$? Они входят в $n$ переменных?
3. Смысл свёртки
4. Зачем она нужна была аж Эйлеру в 18 веке и остальным позже?

1. Потому, что интегрируем от минус до плюс бесконечности.
$\frac {3+4} 2$. Одномерная свёртка: Вы ударник в рок-группе. Ваши удары по барабану можно записать функцией $f(t)$. Каждый удар порождает звук $g(t)$, где g - отклик на единичный импульс. Ваши слушатели слышат свёртку этих двух функций.
Двумерная свёртка: Вы американский шпион (спутник-шпион), подсматривающий за РВСН России через телескоп. Свет на входе телескопа $f(x,y)$, но объектив телескопа имеет искажения, выражающиеся функцией $g(x,y)$. На ПЗС-матрицу поступает свёртка этих функций (зная аппаратную функцию объектива $g(x,y)$ можно попытаться восстановить истинное изображение)
Трёхмерная свёртка: в Вашем мозгу в каждой его точке в момент t приходят нервные импульсы $f(x,y,z)$, на которые нейрон реагирует ответом $g(x,y,z)$, который мы пишем в виде ЭЭГ (на самом деле тут надо и развёртывание во времени учитывать)
То есть существует великое множество задач из физики и родственных наук, где имеет место процесс свёртки и нужно его описывать и изучать свойства.

[amon]

Mihaylo в сообщении #1705669 писал(а):

Свёртка, видимо, обладает какими-то математическими свойствами, что получила название отдельное?

Это общий вид линейного оператора в однородном (начало координат ни чем не выделено) координатном пространстве.

[skobar]

amon в сообщении #1705751 писал(а):

Это общий вид линейного оператора в однородном (начало координат ни чем не выделено) координатном пространстве.

С математической точки зрения это, очевидно, неправильно.

[sergey zhukov]

Mihaylo
Свертка двух функций - то же самое, что скалярное произведение двух векторов.

Любой вектор можно разложить по базису, спроецировав (взяв скалярное произведение) на базисные векторы. Аналогично, любую функцию можно разложить по базисным функциям (скажем, синусам и косинусам), взяв ее свертку с базисными функциями.

[Dan B-Yallay]

sergey zhukov в сообщении #1705765 писал(а):

Свертка двух функций - то же самое, что скалярное произведение двух векторов.

Это кaк это..
Скалярное произведение - число. Свёртка двух функций - функция.

Скорей уж тогда это векторное произведение в некотором очень "особенном смысле".

[Mihaylo]

Это свёртка в машинном обучении так преподаётся.

[amon]

skobar в сообщении #1705755 писал(а):

С математической точки зрения это, очевидно, неправильно.

С математической точки зрения надо приговорить много непонятных слов про то, какое функциональное пространство имеется в виду. На физическом уровне строгости имеются в виду функции, от которых можно взять "интеграл" хотя бы в смысле обобщенных функций.

-- 13.10.2025, 20:43 --

sergey zhukov в сообщении #1705765 писал(а):

Свертка двух функций - то же самое, что скалярное произведение двух векторов.

Нет. Свертка - это линейный оператор, переводящий одну функцию в другую.

[skobar]

amon в сообщении #1705775 писал(а):

С математической точки зрения надо приговорить много непонятных слов про то, какое функциональное пространство имеется в виду. На физическом уровне строгости имеются в виду функции, от которых можно взять "интеграл" хотя бы в смысле обобщенных функций.

Дайте определение "однородного координатного пространства" и поясните, что такое "общий вид линейного оператора" на нем и как он вдруг становится сверткой, которая по определению двум функциям из какого-то пространства сопоставляет третью функцию.

-- 13.10.2025, 20:53 --

amon в сообщении #1705775 писал(а):

Свертка - это линейный оператор, переводящий одну функцию в другую.

Неправильно. Свертка паре функций сопоставляет третью и как таковая свертка является билинейной.

-- 13.10.2025, 20:57 --

Mihaylo в сообщении #1705770 писал(а):

Это свёртка в машинном обучении так преподаётся.

На всякий случай нужно спросить про контекст, где у вас возникла свертка. А то вдруг "свертка в машинном обучении" и свертка в функане (определение которой вы привели) - это две разные свертки?

[Red_Herring]

Что имел в виду amon
Свертка с данной функцией $g$ это линейный оператор $A$ инвариантный относительно (всех) сдвигов $T_h^{-1}AT_h = A $