Уравнение Вольтерра второго рода

[reterty]

Имеется следующее линейное уравнение Вольтерры второго рода:

$$ y(x)+\int_{0}^{x} K(x-s) y(s)\,{\rm d}s = 1 $$

с ядром

$$K(x-s)=1-4\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{e^{-\beta \lambda_n^2 (x-s)}}{\lambda_n^2},$$

где $y(0)=1$, $\beta>0$ и $\lambda_n$ — $n$-й положительный корень уравнения $J_0(x)=0$ (здесь $n$ — натуральное число, нумерующее эти положительные корни в порядке возрастания их значений), $J_0(x)$ — функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Мне нужна помощь в решении (численном или даже аналитическом) этого уравнения.
Я пытался решать это уравнение численно методом трапеций. Получилась удивительная вещь: при $\beta>0.43$ - решение монотонно убывает для всех положительных значений аргумента. Если же $\beta<0.43$-функция убывает но имеет при этом конечное число осцилляций (может численный глюк?)

[mihiv]

Найдем приближенное решение уравнения Вольтерра и убедимся, что при различных значениях $\beta $ возможны и затухающие колебания и монотонно убывающие решения.
Чтобы получить приближенное решение, ограничимся в выражении для $K(x-s)$ первым слагаемым в сумме т.е.:

$$K(x-s)\approx 1-4\dfrac{e^{-\beta \lambda_1^2 (x-s)}}{\lambda_1^2}$$

Продифференцируем исходное уравнение:

$$y'(x)=-K(0)y(x)-\int _{0}^{x}K'_{x}(x-s)y(s)ds\eqno (1)$$ $$K'_{x}=4\beta e^{-\beta \lambda _1^2(x-s)}=\beta \lambda _1^2(1-K(x-s))\eqno (2)$$

Подставим $(2)$ в $(1)$ и, используя исходное уравнение, получим:

$$y'(x)+K(0)y(x)+\beta \lambda _1^{2}(y(x)-1)+\beta \lambda _1^2\int _0^{x}y(s)ds=0\eqno (3)$$

Дифференцируем $(3)$ и получаем ДУ:

$$y

Решаем соответствующее характеристическое уравнение и находим показатели экспонент:

$$q_{1,2}=\dfrac {-(K(0)+\beta \lambda _1^2)\pm \sqrt {(K(0)+\beta \lambda _1^2)^2-4\beta \lambda _1^2}}2\eqno (5)$$

Из $(5)$ видно, что в зависимости от величины параметра $\beta $ возможны как затухающие колебания, так и монотонное убывание.

[reterty]

mihiv в сообщении #1705596 писал(а):

...возможны как затухающие колебания, так и монотонное убывание.

mihiv, спасибо Вам огромное! Получается, что при учете высших мод с $n>1$, если осцилляции и будут иметь место, то их окажется финитное число и они будут, естественно, непериодическими по шкале $x$?

[mihiv]

reterty
Раз у нас есть аналитическое решение для уравнения с ядром $K_1(x-s)= 1-4\dfrac{e^{-\beta \lambda_1^2 (x-s)}}{\lambda_1^2}$, то имеет смысл численно решить уравнение Вольтерра с тем же ядрои $K_1$, тогда можно будет оценить точность численного решения.