Почему 3?

[TOTAL]

Altenter в сообщении #1704967 писал(а):

Вы кстати не ответили, что значат единицы в записи {1,1,d^k}^n или я не понял.

У меня такой записи не было.

[Altenter]

TOTAL в сообщении #1704970 писал(а):

Altenter в сообщении #1704967 писал(а):

Вы кстати не ответили, что значат единицы в записи {1,1,d^k}^n или я не понял.

У меня такой записи не было.

Извиняюсь, в записи: $(1+1+d^k)^n $

-- 08.10.2025, 14:08 --

А встречается ли такая запись в учебниках? Мне кажется, что здесь ошибочно применен $d^k$ и вместо него должна быть единица:$\ (1+1+1)^n= \displaystyle \sum_{k=0}^n C_n^k\cdot 2^{n-k} \cdot d^k$, есть смутные догадки какой смысл несут эти единицы.

[svv]

Altenter в сообщении #1704957 писал(а):

Спасибо, понял. Но не понял как получается отсюда общее число граней n-куба $ 3^n$.

Элементарно! Для этого надо всего лишь не считать отдельно число 0-граней, потом число 1-граней и т.д. до $n$-граней, а считать сразу общее число. Смотрите:

У нас есть $3$ символа 0 1 *. Тогда число различных слов длины $n$ (по числу координат), составленных из этих символов, равно $3^n$. Всё.

Altenter в сообщении #1704957 писал(а):

Затем посчитаем 1-грани. Они будут кодироваться словом вида +++*, где вместо + будет 0 или 1

Тут такое замечание: не только +++*, но и *+++, +*++, ++*+. Вероятно, Вы это и имели в виду.

[Altenter]

svv в сообщении #1704991 писал(а):

Altenter в сообщении #1704957 писал(а):

Спасибо, понял. Но не понял как получается отсюда общее число граней n-куба $ 3^n$.

Элементарно! Для этого надо всего лишь не считать отдельно число 0-граней, потом число 1-граней и т.д. до $n$-граней, а считать сразу общее число. Смотрите:

У нас есть $3$ символа 0 1 *. Тогда число различных слов длины $n$ (по числу координат), составленных из этих символов, равно $3^n$. Всё.

Да, действительно. Понял, согласен.
0,1,•
0,1,•
0,1,•
0,1,•
.........
Если делать выборку из каждой строки по элементу, то таких выборок и получится $3^4$ вариантов каждый из которых определяет грань тессеракта.

svv в сообщении #1704991 писал(а):

Altenter в сообщении #1704957 писал(а):

Затем посчитаем 1-грани. Они будут кодироваться словом вида +++*, где вместо + будет 0 или 1

Тут такое замечание: не только +++*, но и *+++, +*++, ++*+. Вероятно, Вы это и имели в виду.

Да, именно, это понятно из присутствия сочетаний в формулах.

[svv]

Отлично. Теперь вернёмся к обозначениям dgwuqtj.

dgwuqtj в сообщении #1704901 писал(а):

Например, в случае $n = 2$ был квадрат $[0, 1] \times [0, 1]$ (т.н. единичный квадрат). Вот все его грани:
$\{(0, 0)\} = \{0\} \times \{0\}$, $\{0\} \times [0, 1]$, $\{(0, 1)\} = \{0\} \times \{1\}$,
$[0, 1] \times \{0\}$, $[0, 1] \times [0, 1]$, $[0, 1] \times \{1\}$,
$\{(1, 0)\} = \{1\} \times \{0\}$, $\{1\} \times [0, 1]$, $\{(1, 1)\} = \{1\} \times \{1\}$.

Перепишу это в столбик. Из всех равенств возьму правую часть, как более удобную. И для ясности добавлю свою кодировку:
$\begin {array}{ll}\{0\} \times \{0\}&00\\ \{0\} \times [0,1] &0*\\ \{0\} \times \{1\}&01\\{}[0,1]\times \{0\}&*0\\{}[0,1] \times [0,1]&**\\{}[0,1]\times \{1\}&*1\\ \{1\} \times \{0\}&10\\ \{1\} \times [0,1] &1*\\ \{1\} \times \{1\}&11 \end {array}$

Видите соответствие?

[Altenter]

svv в сообщении #1705029 писал(а):

Видите соответствие?

Да, вижу. Спасибо, теперь понял.
Ответ на стартовый вопрос: 3 потому, что все грани n-куба определяются троичными словами длины n, каждый разряд которых может принимать значения: 0,1,• или {0},{1},[0,1] .

[svv]

Ну и вот это замечание dgwuqtj теперь тоже должно быть понятно:

dgwuqtj в сообщении #1704891 писал(а):

Грань в $n$-мерном кубе определяется тем, какое из множеств $\{0\}$, $[0, 1]$, $\{1\}$ может пробегать каждая координата. Всего $3^n$ и получается.

Если в грани каждая координата может пробегать одно из трёх множеств:
$\{0\}$ 0
$[0,1]$ *
$\{1\}$ 1
— то для $n$ координат получаем $3^n$ вариантов.

[Altenter]

svv в сообщении #1705032 писал(а):

Ну и вот это замечание dgwuqtj теперь тоже должно быть понятно:

dgwuqtj в сообщении #1704891 писал(а):

Грань в $n$-мерном кубе определяется тем, какое из множеств $\{0\}$, $[0, 1]$, $\{1\}$ может пробегать каждая координата. Всего $3^n$ и получается.

Если в грани каждая координата может пробегать одно из трёх множеств:
$\{0\}$ 0
$[0,1]$ *
$\{1\}$ 1
— то для $n$ координат получаем $3^n$ вариантов.

Cпасибо, понял.

[Altenter]

Если в n-кубе рассмотреть все грани, возникающие на основе 0 и 1, то они будут выражаться двоичными словами длины n и их количество $2^n$. Эти слова (вершины) порождаются последовательным применением к точке n ортогональных плоскостей зеркального отражения.

Правильна ли мысль?

Для остальных граней потребуется вводить плоскости зеркального отражения, которая закращивает след при отражении. Их тоже будет n. Если такой плоскостью подействовать на точку, то получится отрезок, на отрезок- грань, на грань- объем и т.д. По сути трехмерный куб -это последовательное воздействие на точку тремя ортогональными закрашивающими плоскостями отражения. Или что то же самое: [0,1]×[0,1]×[0,1] или ***. Но ведь такой куб уже содержит и грани низжих порядков.
Это я к тому, что эйлерова характеристика- это какая-то формула включений-исключений, только понять бы чего из чего еще.

[Altenter]

Вкурил (хотя не курю)
Куб *** содержит 1 объем, 6 граней, 12 ребер и 8 вершин.
1. Вычитаем из него 6 граней вместе с ребрами и вершинами, но каждое ребро вычтется дважды, т.к. принадлежит двум граням, а каждая вершина трижды, т.к. принадлежит трем граням G=6-6=0,R=12-24=-12, V=8-24=-16.
2. Затем прибавляем 12 ребер , при этом граней осталось G=0, а ребер стало R=-12+12=0, а вершин V=-16+12*2=8.
3. Вычитаем вершины и получили наконец-то голый куб без границ. Т.е. Эйлерова характеристика по сути раздевает куб. и освобождает его от границ. Правильно ли я понимаю???

Более логично тогда эйлерову характеристику записать так: 1-G+R-V=-1, где 1 - это одетый куб, а -1 раздетый. А стоимость одежки куба равна 1-(-1)=2. По сути, "стоимость одежки" - это наверное и есть эйлерова характеристика.

Для того, чтобы создать n-куб, а потом его раздеть, достаточно уметь выделять из него элементы. Для этого необходимо иметь такие инструменты как n ортогональных плоскостей зеркального отражения и n ортогональных, закрашивающих пространство между отражаемыми точками, плоскостей зеркального отражения.

Правильно? И есть ли такие элементы симметрии как закрашивающие плоскости в математике?

[Altenter]

(Оффтоп)

Эйлер, будучи настоящим математиком, как и положено, сублимировал, а вместо женщин его острый ум раздевал многогранники )))