Решение гильбертовой задачи о мощности числовой прямой

[Инт]

Приветствую форумчан! Надеюсь на самую строгую критику от вас работы

Аналитическое разрешение задачи о мощности числового континуума

В представленной работе задача о мощности числового континуума разрешена со всей строгостью и по существу,
без привлечения формалистских суррогатных кардиналов.

В первой части исследовано предметное пространство, конструкция Лося (Los).
Во второй части доказана теорема, не совместимая с континуум-гипотезой.

Сама статья по ссылкам:

Часть 1: https://vk.com/s/v1/doc/xLmzDqknlkcVFLO ... g6TPVadzP8
Часть 2: https://vk.com/s/v1/doc/tDH-QBvQq-JzbSF ... OEuZYZVlpA

В первой части формулируются утверждения и аксиомы, которые интересны для проверки.
К примеру, рассматривается такое утверждение, эквивалентное континуум-гипотезе:

<<Множество $P$ всех частей первого несчётного кардинала включает в себя своё подмножество $Q$, счётно разделимое по отношению включения на элементах $Q$>>.

<<Счётная разделимость>> в данном случае означает, что каковы бы ни были не более чем счётные и не пустые два подмножества $\subset$ $Q$, одно из которых $L$ назовём <<левым>>, а другое $R$ <<правым>>, если каждый элемент $\in$$L$ будет строго включён в каждый элемент $\in$$R$, по классическому отношению включения множеств, т.е. по отношению $\subset$, то по этим $L$ и $R$ всегда найдётся серединное множество $M$$\in$$P$, такое, что $M$ будет строгим надмножеством для каждого элемента $\in$$L$ и строгим подмножеством каждого элемента $\in$$R$.

Кроме того, рассматриваются аксиомы, не совместимые с континуум-гипотезой, и более сильные, чем простое отрицание КГ.

Решающим моментом работы оказывается доказательство
утверждения не совместимого с КГ,
проведённое средствами теории ZFC.

Почему такое возможно, и есть предмет особого разбирательства здесь на форуме.

Ясно, что имеет место предельная острота заявления о таком доказательстве,
которое форумчане, не сомневаюсь, смогут проверить.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Изложите ключевые моменты работы непосредственно на форуме.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Причина переноса: ну, попробуем...

[Инт]

Ещё недавно ссылки отлично открывались. Теперь открываются у меня только в приватном окне. Если что не так, пишите.

[Null]

Весь текст курсивом это плохо. Выпишите сюда доказательство теоремы 7(с самой теоремой), по моему это неправда.

[Инт]

Null в сообщении #1704472 писал(а):

Выпишите сюда доказательство теоремы 7(с самой теоремой), по моему это неправда.

Имеем две строго возрастающие непрерывные функции А и Б, которые в теории множеств отождествляются с графиками этих функций, с линиями на декартовой плоскости. Пусть одна из них А всегда меньше или равна функции Б. Проводим первый вертикальный отрезок от произвольной точки Т0, расположенной на А, до тех пор, пока он, отрезок не пересечёт точку на Б, которую назовём Т1. Из Т1 ведём горизонтальный отрезок до тех пор, пока отрезок не пересечёт точку Т2 на А. Из точки Т2 ведём вертикальный отрезок до тех пор, пока он не пересечёт точку Т3 на Б. Из точки Т3 ведём горизонтальный отрезок, который пересечёт линию (функцию) А в точке Т4. И т.д. Последовательность точек с чётными номерами устремлена к некоторой предельной точке на А. Последовательность точек с нечётными номерами устремлена к предельной точке на Б. Эти две предельные точки совпадут, так как координаты точек чётной и нечётной последовательностей перемежаются. Так как любое счётное множество точек такого рода оказывается ограниченным на данном неархимедовом континууме (когда выкидываем самую правую точку такого континуума), то таких предельных точек можно указать несчётное количество. Если такого пояснения окажется не достаточно, я дам более подробное.

[Инт]

На странице 9 Части 1 в последнем абзаце нашёл опечатку (не меньше чем неточность).
Там имелись ввиду сечения в множестве $G$, о котором говорится в Теореме 9.
Вот здесь исправленная фраза: https://vk.com/s/v1/doc/tOlf6cpbUx8jpck ... XvU9bkaMjc

[Инт]

Null в сообщении #1704472 писал(а):

(с самой теоремой)

Забыл про саму теорему 7, потому дублирую ответ (не привязывать к обозначениям предыдущего ответа).

Теорема 7: Пусть строго возрастающие непрерывные функции $f$ и $g$
определены на замкнутом интервале $\mathfrak{J}$ $\subseteq$ $\mathfrak{A}$.
Правый конец интервала $\mathfrak{J}$, пусть, совпадает с точкой $A$,
которая есть предел простейшей строго возрастающей последовательности протяжённости $\omega_1$,
и $f(A) = g(A)$.
Тогда значения $f$ и $g$ совпадают на несчётном множестве значений аргумента внутри интервала $\mathfrak{J}$.

Далее даю, как мне кажется, достаточное пояснение, которое по сути и есть доказательство:
$\mathfrak{A}$ - это неархимедов континуум,
$A$ - это точка и правый конец интервала $\mathfrak{J}$.
Значения $f(X)$ считаем не превышают значния $g(X)$.
Функции $f$ и $g$, как принято в теории множеств, совпадают со своими графиками (с некоторыми линиями) на неархимедовой декартовой плоскости.
Из точки $T_0$, расположенной на линии $f$ проводим вертикальный отрезок до тех пор, пока этот отрезок не пересечёт линию $g$ в точке $T_1$.
Из точки $T_1$ в некую точку $T_2$ на линии $f$ проводим горизонтальный отрезок.
Из точки $T_2$ ведём вертикальный отрезок до точки $T_3$, находящийся на линии $g$.
Из точки $T_3$ ведём горизонтальный отрезок до линии $f$, который пересечёт последнюю в точке $T_4$. И т.д.
Последовательность точек с чётными номерами устремелена к некоторой предельной точке на линии $f$.
Последовательность точек с нечётными номерами устремлена к предельной точке на линии $g$.
Эти две предельные точки совпадут, так как координаты точек чётной и нечётной последовательностей перемежаются,
а обе функции - непрерывны.
Так как любое счётное множество точек из указанных последовательностей оказывается ограниченным на данном неархимедовом интервале $\mathfrak{J}$
(Выкидываем самую правую точку $A$ из $\mathfrak{J}$. Интервал $\mathfrak{J}$ с выкинутым правым концом оказывается счётно безграничным континуумом),
то на интервале $\mathfrak{J}$ таких предельных точек можно указать несчётное количество. Ч.т.д.

[realeugene]

(Оффтоп)

Инт в сообщении #1704229 писал(а):

Сама статья по ссылкам:

Открыл. Понял, что приходится вглядываться в каждую букву каждого слова, чтобы их прочитать. Закрыл.
очевидно, что автору не нужно, чтобы его текст было легко прочитать. Даже пояснения словами.

[Инт]

В завершении предыдущего ответа по теореме 7 я неудачно выразился. Имел ввиду, что на рассматриваемом в теореме интервале находятся не сами указанные предельные точки, полученные на декартовой плоскости как пределы от очередной чëтной и нечëтной последовательностей, а проекции таких точек на данный интервал.

[Инт]

Cхема основного доказательства из Части II.
Особенно будет понятной для тех, кто прошёл Часть I.

$S$-Множества (например, $S$-линии, $S$-точки, $S$-функции) – это просто последовательности классических множеств (последовательности, составленные из линий, точек,функций), т.е. определённые как функции от натуральных чисел со значениями, которые суть – классические множества. Постоянные в значениях последовательности изображают классические множества, аналог классических множеств, тем «знаковосоответствуют» последним. Классические множества называем $T$-множествами. Можно считать, что приставка $S$ от английского слова «последовательность».

Далее, просто пытаемся доказать аксиому I, но в «$S$-варианте».
Пару $T$-последовательностей, составленых из $T$-линий множества $G$ (см. раздел III Части I, жирное каллиграфическое $G$ в основном тексте), и определяющих сечение в множестве $G$, превращаем сначала в (знакосоотвествующие) $S$-последовательности $S$-линий. Множество $G$ тогда же превращается в $S$-множество $G^S$, знакосоответствующее множеству $G$. Все $S$-линии, $S$-принадлежащие указанным $S$-последовательностям, образуют $S$-множество $J$ (фигурное, каллиграфическое особое $J$ в основном тесте). В $S$-множестве $J$ рассматриваем только его $S$-конечные $S$-части (в грубом приближении этого пояснения – конечные для каждого значения-элемента такой $S$-части, т.е. для элемента последовательности, трактуемого как конечная часть классического множества линий). Эти $S$-конечные $S$-части пытаемся сопоставить с другими $S$-конечными $S$-множествами. Если снять приставки $S$-, то последнее означает, что линиии какого-нибудь конечного множества просто совмещаем с линиями некоего другого конечного множества так, чтобы линии совпали, но сохранилось бы их взаимное расположение (топология), и совмещение производим посредством непрерывного отображения плоскости на себя (названного «предсопоставлением»).

Если снять приставки $S$-, (трактовать события так, как о них думает $S$-теоретик) то делаем дубликат той оригинальной плоскости, на которой расположены сопоставляемые линии множества $J$, взятые из множества $G$ (на самом деле корректно говорить об $S$-множествах). И сопоставляем линии из $J$ оригинальной плоскости линиям дубликата. Строго говоря, $S$-сопоставляем $S$-линии $S$-множества $J$ некоторым $S$-линиям $H^S$.

Для того, заранее выбираем некую (не меняемую в рассуждениях «$S$-константу») $S$-линию $h$, т.е. вообще говоря, переменную $T$-линию, положения $h(n)$ которой совпадают с классическими линиями $h(n)$ и зависят от натурального аргумента $n$ $\in$ $\omega_0$. Каждое сопоставляемое $S$-конечное $S$-множество $f$ делим (условно для этого пояснения, и такое обозначение весьма отличается от обозначения основного текста) на непересекающиеся друг с другом «правое» $f_R$ и «левое» $f_L$, $S$-объединение которых и есть $f$. В частности, такое означает, что для каждого $n$ $\in$ $\omega_0$ (если рассуждать грубо, точнее же, для каждого натурального $n$ из множества, принадлежащего ультрафильтру, определяющему теорию $S$), все линии из $f_R$$(n)$ асимптотически завершаются на дуге $C$ (см. Часть I, раздел III, в основном тексте это обозначение $C$ с нижним фигурным штрихом) правее линии $h(n)$, и все линии из $f_L$$(n)$ асимптотически завершаются на дуге $C$ левее линии $h(n)$.

В результате, строим, определяем трансфинитную $T$-последовательность $S$-конечных $S$-сопоставлений, нумерованных ординалами $\in$$\omega_1$. $S$-Сопоставления с болЬшими номерами $\in$ $\omega_1$ (точнее, значения этих $S$-сопоставлений как функций от аргумента $n$ $\in$ $\omega_0$) для всех достаточно больших $n$ $\in$ $\omega_0$ «включают в себя» $S$-сопоставления с меньшими номарами $\in$ $\omega_1$. В таком определении трансфинитной цепочки $S$-сопоставлений активно пользуемся гипотезой Кантора, т.е. их, $S$-сопоставлений, предполагаем, всего «алеф-один».

Если бы подобные попытки сопоставлений делались с обычными, классическими множествами, то надо было бы как-то обосновать появление линии $h$, но последнее и есть доказываемое утверждение. Т.е. тогда приходим к некоему кругу трудностей. Но для $S$-сопоставлений такая линия (точнее $S$-линия) определима тривиально заранее. Т.е. после того, как её ввели, к указанной трансфинитной последовательности, добавляем одну за другой - добавляем к счётному множеству уже $S$-сопоставленных $S$-линий - новые $S$-сопоставляемые $S$-линии, взятые из «дубликата» – $S$-сопоставляемые $S$-линиям «оригинала» из указанной пары последовательностей.

В результате, доказуемо существование $S$-ультрафильтра, составленного из $S$-сопоставлений, или из $S$-ординалов (как в основном тексте), которые суть $S$-номера таких $S$-сопоставлений. Этот $S$-ультрафильтр таков, что если $S$-линия $S$-принадлежит $S$-множеству $J$, то найдётся множество $S$-сопоставлений из указанного $S$-ультрафильтра, каждое из которых, $S$-сопоставляет эту $S$-линию какой-то $S$-линии дубликата. Если же $S$-сопоставляются две такие $S$-линии, то подобно же $S$-сопоставляются и их $S$-точки $S$-пересечений. Потому, существует единое $S$-предсопоставление, которое $S$-сопоставляет $S$-линии из $J$ некоему аналогичному $S$-множеству $S$-линий $K$, взятых из дубликата (последние обозначения сильно разнятся с теми, что в основном тексте). А $S$-линии из $K$ и $S$-линия $h$ располагаются также, как это требует аксиома I (точнее, знаковосоответствующий $S$-аналог такой аксиомы). Поскольку из аксиомы I следует нарушение континуум-гипотезы, то получаем, что либо канторова гипотеза не верна, либо верна аксиома I. Т.е. получаем утверждение, похожее на аксиому I, но, вообще говоря, получаем пока не более чем простое нарушение континуум-гипотезы.

Почему применена каллиграфия? Буквенных шаблонных обозначений катастрафически не хватает для того, чтобы не возникало коллизий, и не приходилось бы каждый раз обозначать одной буквой весьма разные предметы, и затем объяснять, что имелось ввиду в этот раз, а не в другие разы. Обычные штрихи, звёздочки и индексы оказываются весьма примитивным инструментом, и не спасают положение. Потому, кажется правильным применять по сути иероглифы, которые как рисунки в большей степени отражают нюансы мысли. Например, «фигурные штрихи», «стилизованные буквы». Строго говоря, любые шаблоны сильно ограничивают выражение мысли (Написание от руки оказывается более совершенным способом нанесения знаков для выражения мысли, чем применение машинных или типографских шаблонов).

В части II увидел погрешность в итоговом доказательстве – почему-то не оговорил, что фильтру должны принадлежать, конечно, не только все конечные пересечения, но и надмножества его элементов. Исправил пару опечаток, аккуратнее дал пояснения. Потому, смотрите исправленный вариант части II по адресу:

https://vk.com/s/v1/doc/OnUFgLzIsKB0zj3 ... PFmVZAbfnI

[Инт]

В дополнение к предыдущему посту, и в обозначениях предыдущего поста: Линии $S$-множества $K$, в итоге, расположены «точно также по отношению к друг другу» как и $S$-линии $S$-множества $J$. По-видимому, здесь стоит применить такие серьёзные термины как «изоморфизм», «гомеоморфизм».

[Инт]

Проверку доказательств из Части II читатель может провести тем, что и сам попытается доказать заявленное в статье, ориентируясь на текст статьи и пояснения, которые я даю здесь на форуме. Для того, можно сделать следующее (принимаем обозначения предыдущих моих постов, но все эти обозначения в моих пояснениях весьма сильно разнятся от обозначений самой статьи, соответствуя последним только в какой-то мере):

Сначала постройте два $S$-конечных $S$-сопоставления, одно из которых включает другое асимптотически.
Т.е. для всех достаточно больших значений аргумента $n$ $\in$ $\omega_0$, значения одного из $S$-сопоставлений включают значения другого.
Затем, постройте $T$-конечное, т.е. просто конечное, множество таких $S$-сопоставлений, где каждое следующее асимптотически включает предыдущее.
После того как построили $T$-счётное, т.е. просто счётное, множество таких асимптотически совместимых $S$-сопоставлений, строим ещё одно $S$-сопоставление, которое асимптотически включает в себя каждое взятое на предыдущих шагах.
Тем вы построите несчётное $T$-множество асимптотически совместимых $S$-сопоставлений, где $S$-сопоставления с болЬшими номерами асимптотически включают в себя $S$-сопоставления с меньшими номерами.
Пользуемся канторовой гипотезой, и потому, сопоставляем таким способом все $S$-конечные $S$-подмножества $S$-множества $J$. Тем доказываем Лемму II.

Далее, переводим $T$-номера определённых $S$-сопоставлений в $S$-номера.
Для каждого $S$-конечного $S$-множества $x$, которое оказывается $S$-подмножеством $S$-множества $J$, определяем $S$-множество $s(x)$ $\subset^S$ $\omega_1^S$, составленное из таких $S$-номеров $\nu$, что $\nu$-ое $S$-сопоставление $S$-сопоставляет такое $x$ какому-то там $S$-конечному $y$ $\subset^S$ $H^S$, и конечно, ещё с теми точными нюансами, которые определены в статье.

Самый острый результат в Лемме III, хотя само её доказательство довольно просто.
Суть такова: Доказываем, что для произвольного $S$-конечного $S$-множества $a$, $S$-элементы которого суть некоторые $S$-конечные $S$-подмножества $S$-множества $J$, найдётся $S$-ординал $\mu$ $\in$ $\omega_1^S$, как «номер» такого $S$-сопосталения $A_\mu$, которое $S$-сопоставляет все $S$-элементы, $S$-принадлежащие $a$, каким-то там $S$-конечным $S$-множествам $S$-включённым в $H^S$.
При том, этот $S$-ординал $\mu$, конкретно уже в доказательстве, берём как функцию, не меняющую своих значений при перемене её аргумента $\in$ $\omega_0$. Т.е. $S$-ординал $\mu$ берём как знаковосоответствующий некоторому классическому ординалу.

[Инт]

В изданиях советских книг часто отмечали «издание исправленное и дополненное».
Теперь понятно почему. Ещё немного подправленного:
Часть 1: https://vk.com/s/v1/doc/rY6Bm2EQ53Z8yTN ... Wmg5YUG4s0
Часть 2: https://vk.com/s/v1/doc/mMiEJwiHwXk1SpE ... ASZiHteE3Y

[Инт]

Я, конечно, благодарен форумчанам за мой устойчивый монолог, не перебиваемый никакими критическими замечаниями в отношении сути доказательства, но хотелось бы достаточно горячего диалога в случае, если читатель, например, уверен, что я ошибаюсь. Или хотя бы вопросов про места, где доказательство непонятно.

Вот очень старая статья, касающаяся аксиомы I, где терминология ещё не так развита как в обсуждаемой статье, но содержатся в буквальном смысле изображения причин, по которым применяются аксиомы I и II.

https://vixra.org/pdf/1005.0059v5.pdf