Решение гильбертовой задачи о мощности числовой прямой

[Инт]

Теперь пройдём последний этап – доказательство Леммы III.
Дам некоторую раскладку ключевых ходов при выводе этой леммы.

Из-за машинных шаблонов обозначения в моём пояснении существенно отличны от тех, что в основном тексте, но по смыслу, надеюсь, читатель восстановит сооответствие обозначений. В частности, буква $s$ в обозначении $s(x)$ здесь употребляется вместо заглавной буквы [Эс] шрифта Brush Script.

Для произвольного $S$-конечного $S$-множества $x$ $\subset$ $J$, собранного из $S$-линий $\in^S$ $J$ (см. предыдущие пояснения) существует, определено некоторое $S$-множество $s(x)$, $S$-элементы которого суть те $S$-ординалы, которые суть $S$-номера $S$-сопоствлений, $S$-сопоставляющих $S$-множество $x$ некоему другому $S$-конечному $S$-множеству $y$, $S$-элемементы которого суть $S$-линии $\in^S$ $H^S$. Считаем при этом, что $J(n) = J(n+1) = j$. Образуем $T$-множество $J^*$, составленное из таких $S$-конечных $S$-множеств $x$ ($T$-принадлежащих множеству $J^*$), для которых, для каждого натурального числа $n$ значение $x(n)$ есть конечное подмножество множества $j$. Тем самым, $J$ есть метазамыкание для множества $J^*$. Это означает, что для всякого $S$-конечного $q$ $\subset^S$ $J$ существует такая $T$-счётная цепочка множеств $w_m$ $\in$ $J^*$, $m$ $\in$ $\omega_0$, что для каждого $n$ $\in$ $\omega_0$ верно $q(n) = $ $w_n$ $(n)$ (с точностью до $S$-равного $S$-множеству $q$), и также $s(q)(n) =$ $s$$($$w_n$$)$$(n)$ (также с точностью до $S$-равного). Пусть $f$ – произвольное $S$-конечное $S$-множество, $S$-элементы которого $S$-конечные $S$-подмножества $S$-множества $J$ ($f$ использована вместо жирной курсивной буквы f из основного текста доказательства Лемммы III). $S$-Объединение всех $S$-элементов, $S$-принадлежащих $S$-множеству $f$, обозначим $U$. Тогда, с точностью до $S$-равного $S$-множеству $U$, всегда можно указать счётную цепочку $S$-конечных $S$-множеств $x_m$, взятых из множества $J^*$, и таких, что для каждого натурального числа $n$ множество $U(n)$ в точности есть объединение множеств $x_1$ $(n)$, $x_2$ $(n)$, …, $x_Z_(_n_)$ $(n)$, т.е. Множества $x_1$ $(n)$, $x_2$ $(n)$, …, $x_Z_(_n_)$ $(n)$ в точности есть все элементы множества $f(n)$. При том, пусть $Z(n) < Z(n+1)$. Если мы докажем лемму для такого рода $S$-множества $f$, то тем более она верна и для всех других указанных $f$. Тогда, по лемме II, для некоторого $S$-ординала $\xi$, который принадлежит классу $Const$, получаем, что $U$ $S$-сопоставляется $\xi$-ым $S$-сопоставлением (точнее, $S$-сопоставляется $S$-сужением такого $S$-сопоставления, но здесь в пояснении мы упрощаем фразы) некоему $S$-множеству $V$, собранному из $S$-линий $\in^S$ $H^S$, как из $S$-элементов. При том, $U(n)$ сопоставляется $\xi$$(n)$-ым сопоставлением множеству $V(n)$ $\subset$ $H$ для всех достатчно больших значений аргумента $n$ $\in$ $\omega_0$. Тогда, все множества $s$$($$x_1$$(n)$$)$, $s$$($$x_2$$(n)$ $)$, …, $s$$($$x_Z_(_n_)$$(n)$$)$ пересекаются по этому $\xi$$(n)$ для всех достаточно больших $n$$\in$$\omega_0$. Произвольное $S$-множество $q$, $S$-принадлежащее $f$, тогда (с точностью до $S$-равного) можно считать последовательностью со значениями $q(n) =$ $x_g_(_n_)$$(n)$, где натуральное число $g(n)$ не превышает числа $Z(n)$. Функция $g$ конечно же однозначно определяет $S$-множество $q$ (с точностью до $S$-равного). Следовательно, для всех достаточно больших $n$$\in$$\omega_0$, множество $s(q)(n) =$$s$$($$x_g_(_n_)$$)$ $(n)$ содержит ординал $\xi$$(n)$. Ч.т.д. (с точностью до того, что приведено всё же только пояснение ключа доказательства).

Замечу немаловажное. Теория $S$ полностью является частью теории $T = ZFC$. Т.е. каждая формула $\in$ $S$ есть формула теории $ZFC$, все предметы теории $S$ суть предметы теории $ZFC$. Кроме того, по теореме 11, если средствами теории $S$ доказано некоторое $S$-утверждение, то $T$-утверждение $\in$ $ZFC$, знаковосоответствующее доказанному в $S$, также доказуемо в теории $ZFC$. Тем самым, доказанная в итоге теорема, аналогичная Аксиоме I, есть теорема ZFC.

[Инт]

Относительно множества $s(x)$, строго говоря (такое надо ещё доказывать, может да, может нет) не известно, характеризуется ли $S$-множество $s(x)$ $S$-свойством <<быть $S$-множеством всех $S$-ординалов $\mu$, для которых $\mu$-ое $S$-сопоставление $S$-сопоставляет $x$>> какому-то там $S$-множеству $S$-линий. Но эта неопределённость не мешает доказательству. Множество $s(x)$ принимаем как некую $S$-константу, которую метатеоретик, то бишь $T$-теоретик, предъявил $S$-теоретику: <<Бери и пользуйся>>. Соответственно как $S$-константу, данную метатеоретиком, принимаем и $S$-множество $\Sigma$, составленное как метазамыкание $T$-множества всевозможных $S$-множеств $s(x)$. $S$-Множество $\Sigma$ строго говоря, может не характеризоваться в итоге каким-нибудь $S$-свойством (может быть и характеризуется, но мы этого не знаем). Т.е. $\Sigma$ определено через некое $T$-свойство, но при том, остаётся $S$-множеством, относительно которого $S$-теоретик обязан сделать правильные заключения, выраженные в $S$-свойствах. Подобное же верно для итогового $S$-ультрафильтра.