совместность системы уравнений

[IrinaZub]

Добрый день!

Подскажите, пожалуйста, совместна ли следующая система уравнений:

$$\frac{\sin{x}-x}{x^2}=\frac{\sin{y}-y}{y^2},\quad \frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1-\cos{y}}{y^2}.$$

[ShMaxG]

IrinaZub
Конечно, и у нее бесконечное число решений, которые легко угадываются.

[IrinaZub]

ShMaxG, подскажите, как доказать, что она совместна?
Я пробовала в maple построить графики функций $f(x)=\frac{\sin{x}-x}{x^2}$ и $g(x)=\frac{1-\cos{x}}{x^2}$,
чтобы посмотреть, найдутся ли такие $x$ и $y$ ,что $f(x)=f(y)$, $g(x)=g(y)$, но вывод о совместности системы
на основе этих графиков так и не сделала.

-- 01.10.2025, 12:10 --

Забыла написать, что, естественно, рассматриваем случай $x\neq y$.

[Rak so dna]

IrinaZub в сообщении #1703996 писал(а):

Добрый день!

Подскажите, пожалуйста, совместна ли следующая система уравнений:

$$\frac{\sin{x}-x}{x^2}=\frac{\sin{y}-y}{y^2},\quad \frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1-\cos{y}}{y^2}.$$

Так а это учебная задача? Если нужно убедиться чисто для себя, то можно так:

\begin{align*} &0=\sin^2{y}+\cos^2{y}-1=\left(\dfrac{y^2\left(\sin{x}-x\right)}{x^2}+y\right)^2 + \left(\dfrac{y^2\left(\cos{x}-1\right)}{x^2}+1\right)^2 - 1=\\\\ &=\dfrac{\left(\cos^2{x}+\sin^2{x}-1\right)y^4}{x^4} + \dfrac{y^2(y-x)\Bigl[\left(x^2-2x\sin{x}-2\cos{x}+2\right)y-\left(x^3+2x\left(\cos{x}-1\right)\right)\Bigr]}{x^4}=\\\\ &=\dfrac{y^2(y-x)\Bigl[\left(x^2-2x\sin{x}-2\cos{x}+2\right)y-\left(x^3+2x\left(\cos{x}-1\right)\right)\Bigr]}{x^4} \end{align*}

Отсюда либо $y=0$, либо $y=x$, либо $y=\dfrac{x^3+2x\left(\cos{x}-1\right)}{x^2-2x\sin{x}-2\cos{x}+2}$

В последнем случае, можно с помощью ПО нарисовать график $f_1\left(x, g(x)\right)$ либо $f_2\left(x, g(x)\right)$, где:

\begin{align*} &g(x) = \dfrac{x^3+2x\left(\cos{x}-1\right)}{x^2-2x\sin{x}-2\cos{x}+2}\\\\ &f_1(x,y) = \dfrac{\sin{x}-x}{x^2}-\dfrac{\sin{y}-y}{y^2}\\\\ &f_2(x,y) = \dfrac{1-\cos{x}}{x^2}-\dfrac{1-\cos{y}}{y^2} \end{align*}

Код для проверки на wxMaxima:

(Оффтоп)

h(t) := ((sin(x)-x)/x^2*y^2+y)^2 + ((cos(x)-1)/x^2*y^2+1)^2 - 1 ;
r(t) := (cos(x)^2+sin(x)^2-1)*y^4/x^4 + y^2*(y-x)*((x^2-2*x*sin(x)-2*cos(x)+2)*y-(x^3+2*x*(cos(x)-1)))/x^4 ;
rat(h(t) - r(t));

g(x) := (x^3+2*x*(cos(x)-1))/(x^2-2*x*sin(x)-2*cos(x)+2) ;
f1(x,y) := (sin(x)-x)/x^2 - (sin(y)-y)/y^2 ;
f2(x,y) := (cos(x)-1)/x^2 - (cos(y)-1)/y^2 ;
wxplot2d([f1(x, g(x)), f2(x, g(x))], [x, -15, 15])$

[IrinaZub]

Rak so dna
Спасибо Вам огромное!

-- 01.10.2025, 19:52 --



Я нарисовала в maple два графика f1(x,g(x)) и f2(x,g(x)), как Вы предложили.
Очень похоже на то, что и красный, и синий графики одновременно пересекают ось абсцисс приблизительно в точках $x=\pm 5,2$. То есть похоже, что система все же совместна?
Непонятно пока, как это доказать (или опровергнуть) аналитически.

-- 01.10.2025, 20:06 --

Вот пересечения этих графиков (с осью Ох) на отрезке [-5.17074,-5,17073].

[Rak so dna]

IrinaZub в сообщении #1704087 писал(а):

То есть похоже, что система все же совместна?

Да, совместна.

Перепроверьте графики, Maxima рисует следующее:

в районе $x=-5.17$ корней не видно.

IrinaZub в сообщении #1704087 писал(а):

Непонятно пока, как это доказать (или опровергнуть) аналитически.

Примерно так:
Возьмем за отправную точку корень $x_0$ уравнения $f_1\left(x, g(x)\right)=0$ на отрезке $[-6.4 \cdots -6]$. Тогда:

Из $f_1\left(x_0, g(x_0)\right)=0$ следует, что для $y_0=g(x_0)$ верна система

$$\left\{ \begin{array}{lcl} \dfrac{\sin{x_0}-x_0}{x_0^2}=\dfrac{\sin{y_0}-y_0}{y_0^2} \\\\ y_0=\dfrac{x_0^3+2x_0\left(\cos{x_0}-1\right)}{x_0^2-2x_0\sin{x_0}-2\cos{x_0}+2} \end{array}\right$$

тогда:

\begin{align*} &0=\dfrac{\left(\cos^2{x_0}+\sin^2{x_0}-1\right)y_0^4}{x_0^4}+\dfrac{y_0^2(y_0-x_0)\Bigl[\left(x_0^2-2x_0\sin{x_0}-2\cos{x_0}+2\right)y_0-\left(x_0^3+2x_0\left(\cos{x_0}-1\right)\right)\Bigr]}{x_0^4}=\\\\ &=\left(\dfrac{y_0^2\left(\sin{x_0}-x_0\right)}{x_0^2}+y_0\right)^2 + \left(\dfrac{y_0^2\left(\cos{x_0}-1\right)}{x_0^2}+1\right)^2 - 1=\sin^2{y_0} + \left(\dfrac{y_0^2\left(\cos{x_0}-1\right)}{x_0^2}+1\right)^2 - 1 \end{align*}

т.е. $\sin^2{y_0} + \left(\dfrac{y_0^2\left(\cos{x_0}-1\right)}{x_0^2}+1\right)^2 = 1$, откуда

$$\dfrac{y_0^2\left(\cos{x_0}-1\right)}{x_0^2}+1=\cos{y_0}$$

либо

$$\dfrac{y_0^2\left(\cos{x_0}-1\right)}{x_0^2}+1=-\cos{y_0}$$

(именно этот случай отвественен за появление лишних корней)

Но, поскольку на отрезке $[-6.4 \cdots -6]$ функции $\dfrac{g^2(x)\left(\cos{x}-1\right)}{x^2}+1,~~\cos{\left(g(x)\right)}$ положительны (можно посмотреть на соответствующие графики), то $\dfrac{y_0^2\left(\cos{x_0}-1\right)}{x_0^2}+1=\cos{y_0}$, откуда

$$\boxed{\dfrac{1-\cos{x_0}}{x_0^2}=\dfrac{1-\cos{y_0}}{y_0^2}}$$

А значит $(x_0,y_0)$ — один из корней исходной системы.

[Евгений Машеров]

IrinaZub в сообщении #1704087 писал(а):

Я нарисовала в maple два графика f1(x,g(x)) и f2(x,g(x)), как Вы предложили.

Непонятны разрывы на Ваших графиках. Они могут быть в точках $x=0, y=0$, но там устранимый разрыв. А где-то около 1.6 непонятен.

[Утундрий]

Этой задаче не повредит немного тригонометрии. Положив $x = 2 a, \; y=2 b$ и применив пару школьных тождеств, развалим систему на две:

$$\dfrac {\sin a}{a}=\pm \dfrac {\sin b}{b} , \qquad \dfrac {\sin a}{a}\cdot \dfrac {\cos a}{a}-\dfrac 1 a = \dfrac {\sin b}{b}\cdot \dfrac {\cos b}{b}-\dfrac 1 b $$

Дальше, конечно, тоже тягомотина, но с "синком" как-то проще возиться.

[IrinaZub]

Спасибо большое, Rak so dna, Евгений Машеров и Утундрий!
Завтра разберусь со своими графиками.

[lel0lel]

Кажется, что здесь всё не так просто. Если обсуждаемая система имеет нетривиальные решения, то график параметрически заданной функции
$\begin{cases}X(t)=(\sin t - t)/t^2\\ Y(t)=(1 - \cos t)/t^2\end{cases}$
должен иметь самопересечения или касания. Я их не обнаружил.

[Утундрий]

Поскольку "синк" убывает на бесконечности к нулю, из первого моего уравнения получаем в некоторой области значений только конечное (зависящее от зоны) число кандидатов. А поскольку "синк" ещё и осциллирует, то выписывать все эти зоны и вводить в них параметризацию — удовольствие ниже среднего. А потом этих кандидатов нужно ещё во второе уравнение подставить и что-то там как-то показать...

[Rak so dna]

lel0lel в сообщении #1704272 писал(а):

Кажется, что здесь всё не так просто. Если обсуждаемая система имеет нетривиальные решения, то график параметрически заданной функции
$\begin{cases}X(t)=(\sin t - t)/t^2\\ Y(t)=(1 - \cos t)/t^2\end{cases}$
должен иметь самопересечения или касания. Я их не обнаружил.

Да, действительно не всё так просто. В том примере, что я привёл из отрезка $[-6.4\cdots -6],~~x_0$ численно совпал с $y_0$ с точностью до всех доступных мне знаков:

$x_0\approx -6.283185307179586,~y_0\approx -6.283185307179586$

Но вот уже для следующего корня из отрезка $[-9.1\cdots-8.9]$ значения $x_1$ и $y_1$ различаются в пятом знаке после запятой:

$x_1\approx -8.986807250976565,~y_1\approx -8.986830580689974$

(в то время, как уравнение $x=g(x)$ имеет корень $\approx-8.986818915818128$ на этом отрезке)

Т.е. похоже на то, что нетривиальные решения расположены очень близко к тривиальным. Если у кого есть возможность проверить это с большой точностью, было бы неплохо.

[Rak so dna]

Rak so dna в сообщении #1704305 писал(а):

Но вот уже для следующего корня из отрезка $[-9.1\cdots-8.9]$ значения $x_1$ и $y_1$ различаются в пятом знаке после запятой:

$x_1\approx -8.986807250976565,~y_1\approx -8.986830580689974$

(в то время, как уравнение $x=g(x)$ имеет корень $\approx-8.986818915818128$ на этом отрезке)

Видимо, это лишь причуды моего ПО, и все нетривиальные корни оказались тривиальными

[IrinaZub]

Rak so dna, да, я ошиблась в maple при определении функции g(x).
В итоге получился такой же график, как у Вас на Maxima.