Дистрибутивность gcd над lcm

[Dedekind]

Задача: доказать, что $gcd(a, lcm(b,c)) = lcm(gcd(a, b), gcd(a,c))$. gcd - наибольший общий делитель, lcm - наименьшее общее кратное.

Если обозначить $d = gcd(a, lcm(b,c)), d_1 = lcm(gcd(a, b), gcd(a,c))$, то у меня получилось доказать, что $d_1| d$ ($d_1$ делит $d$). Теперь, нужно бы, по идее, доказать обратное, но что-то не выходит. Например, можно сказать, что $d|lcm(b,c)$, а значит делит также и $bk$ и $cr$, где $gcd(r,k)=1$. Но отсюда не следует, что $d$ делит по отдельности $b$ и $c$, что пригодилось бы для дальнейшего доказательства.

-- 01.10.2025, 07:42 --

Да, и желательно доказать без основной теоремы арифметики.

[dgwuqtj]

Есть такая статья Ali, Smith, Generalized GCD rings. II, там в следствии 1.9 это доказывается в более общей ситуации (где нет основной теоремы арифметики). Правда, на языке дробных идеалов.

[Dedekind]

dgwuqtj
Спасибо, отложил на будущее, но это пока мне не по уровню. Или, по крайней мере, несколько в стороне от той линии, по которой я сейчас иду. А можно ли как-то доказать, используя более элементарные свойства НОД и НОК в кольце целых чисел?

[Geen]

$t=\operatorname{gcd}(a,b,c),\ \operatorname{gcd}(a,b)=xt,\ \dots$?

[nnosipov]

Dedekind
Подсказки такие: 1) считайте числа $a$, $b$, $c$ взаимно простыми; 2) заменяйте НОК на НОД.

[dgwuqtj]

Первым шагом будет $\mathrm{gcd}(a, b)\, \mathrm{lcm}(a, b) = a b$, если это ещё не известно.

[Dedekind]

Прошу прощения, что долго не отвечал, много работы навалилось. Теперь наконец могу вернуться к математике. К сожалению, подсказки не помогли.

Geen в сообщении #1704059 писал(а):

$t=\operatorname{gcd}(a,b,c),\ \operatorname{gcd}(a,b)=xt,\ \dots$?

Тут имелось в виду, что $\operatorname{gcd}(a,b)=xt, \operatorname{gcd}(a,c)=yt, \operatorname{gcd}(b,c)=zt$? Тогда $b=kxt, a=rxt, \operatorname{gcd}(k,r)=1$. Ну, и, очевидно, $t|d_1, t|d$. Крутил эти равенства по-всякому, ничего не выходит.

nnosipov в сообщении #1704061 писал(а):

Подсказки такие: 1) считайте числа $a$, $b$, $c$ взаимно простыми; 2) заменяйте НОК на НОД.

Вот тут вообще не понял. Зачем считать их взаимно простыми, и как поможет замена НОК на НОД?

dgwuqtj в сообщении #1704073 писал(а):

Первым шагом будет $\mathrm{gcd}(a, b)\, \mathrm{lcm}(a, b) = a b$, если это ещё не известно.

Это известно. Но тоже у меня ни к чему не приводит. Блуждаю по кругу:)

[nnosipov]

Dedekind в сообщении #1704435 писал(а):

Зачем считать их взаимно простыми

Обратите внимание: выражения слева и справа однородные, т.е. если положить $a=da_1$, $b=db_1$, $c=dc_1$, то общий множитель $d$ можно вынести наружу и затем на него сократить обе части равенства. Взяв $d=\gcd{(a,b,c)}$, мы получим для $a_1$, $b_1$, $c_1$ к доказательству такое же равенство, но теперь у нас есть дополнительное полезное свойство $\gcd{(a_1,b_1,c_1)}=1$.

Dedekind в сообщении #1704435 писал(а):

как поможет замена НОК на НОД

Там буквально чуть-чуть останется, но нужно знать стандартные свойства взаимно простых чисел (типа: если число взаимно просто с каждым из двух чисел, то оно взаимно просто и с их произведением).

[serg_yy]

Достаточно доказать вспомогательное свойство: для любых x, y, z таких что $gcd(x, y, z)=1$ выполняется $gcd(xy, z)=gcd(x,z)\cdot gcd(y,z)$.
Тогда в предположении $gcd(a, b, c)=1$ левая часть исходного тождества:
$gcd(a, lcm(b,c)) = gcd(a, \frac{bc}{gcd(b,c)}) = \frac{gcd(a\cdot gcd(b,c), bc)}{gcd(b,c)} = \frac{gcd(a, bc)\cdot gcd(b,c)}{gcd(b,c)}$$=gcd(a,b)\cdot gcd(a,c)$.
Правая часть исходного тождества:
$lcm(gcd(a, b), gcd(a,c)) = \frac{gcd(a, b)\cdot gcd(a,c)}{gcd(gcd(a, b), gcd(a,c))} = gcd(a, b)\cdot gcd(a,c)$.

[Dedekind]

nnosipov, serg_yy Спасибо!