Параметризация вектора, касетельного к сфере

[denny]

Что-то запутался в простой вещи. Рассмотрим единичную сферу, на ней точку $(x,y,z)$. В точке - внешнюю нормаль и касательную плоскость, которая ей перпендикулярна.
Касательные вектора $t$лежат в этой плоскости. Поскольку центр сферы в начале координат, для координат (единичного) касательного вектора получаем систему:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} t_x \cdot x + t_y \cdot y + t_z \cdot z = 0 \\ t_x^2 +t_y^2 + t_z^2 = 1 \\ \end{array} \right $$

То есть одна координата - это свободный параметр. Но я бы хотел другую параметризацию.
А именно - будем "смотреть" вдоль нормали. Тогда положение касательного вектора также задается одним параметром - неким углом вращения в касательной плоскости. Но от чего отсчитывается этот угол? Как потом все обратно пересчитать в декартовы координаты?

[dgwuqtj]

denny в сообщении #1702593 писал(а):

Но от чего отсчитывается этот угол?

Это вам выбирать. Можно от меридиана, можно от параллели... В любом случае не получится выбрать нулевые направления сразу во всех точках сферы непрерывным образом.

[denny]

dgwuqtj в сообщении #1702594 писал(а):

denny в сообщении #1702593 писал(а):

Но от чего отсчитывается этот угол?

Это вам выбирать. Можно от меридиана, можно от параллели... В любом случае не получится выбрать нулевые направления сразу во всех точках сферы непрерывным образом.

Да, пусть полюса будут в $(0, 0, 1)$ и $(0,0,-1)$. В остальных точках в качестве параметра рассматриваем угол к меридиану. И все же непонятно, как составить систему для касательного вектора?

[dgwuqtj]

Возьмём точку $(x, y, z)$ на сфере. Касательный вектор в ней, направленный на северный полюс, — это такой вектор $s$, что $s_x x + s_y y + s_z z = 0$, $s_x^2 + s_y^2 + s_z^2 = 1$, $\frac {s_x} x = \frac {s_y} y$ и $s_z > 0$. То есть $s_x = -\frac{x z}{\sqrt{1 - z^2}}$, $s_y = -\frac{y z}{\sqrt{1 - z^2}}$, $s_z = \sqrt{1 - z^2}$. Далее просто напишите условие, что ваш вектор $t$ образует угол $\varphi$ с $s$ (то есть $s \cdot t = \cos \varphi$ и $s \times t = (x, y, z)\, \sin \varphi$, если считать против часовой стрелки), и решайте полученную систему.