Упрощаемый двойной радикал

[nnosipov]

Rak so dna в сообщении #1702782 писал(а):

Нам надо найти все целые $a,x,y$, для которых

$27xy(x+y)\left(x^2+xy+y^2\right)^3 = a\left(y^3+6xy^2+3x^2y-x^3\right)^3$

В общем, да. В конечном итоге все сведется именно к этому. Здесь придется решать уравнения Туэ, что, конечно, неэлементарно, но мы будем считать, что системы компьютерной алгебры умеют их корректно решать. В итоге мы получим только два значения $a$ --- ровно те, что приведены выше. (Кстати, не обязательно предполагать, что $a$ имеет вид $n^3+1$. Можно из исходного уравнения выразить $a$ через $x$ и $y$, а затем, пользуясь однородностью, считать $x$ и $y$ взаимно простыми.)

Но это только половина дела: как я уже писал выше, используемая упрощающая формула получена при дополнительных ограничениях. Нужно еще показать, что общий случай сводится к этому (вдруг есть упрощающие формулы другого типа?). Оказывается, здесь тоже интересно и тоже неэлементарно.

В целом, задача как олимпиадная --- так себе задача (требует слишком много специальных знаний). Но ответ забавный.

[maxal]

nnosipov в сообщении #1702806 писал(а):

Нужно еще показать, что общий случай сводится к этому (вдруг есть упрощающие формулы другого типа?). Оказывается, здесь тоже интересно и тоже неэлементарно.

Вот да, кстати. Например, можно ли как-то сразу увидеть, что возможны только кубические радикалы?

[nnosipov]

maxal в сообщении #1703360 писал(а):

Например, можно ли как-то сразу увидеть, что возможны только кубические радикалы?

Сразу вряд ли. Дело в том, что в общем случае упрощающее выражение может содержать также радикалы 9-й степени, и этот случай тоже придется рассмотреть (просто здесь не будет найдено решений).

Вот еще одна подобная задача: показать, что $\sqrt{\sqrt[3]{a}-1}$ упрощается только при $a=4$ (здесь, как и выше, число $a$ предполагается целым и не точным кубом). Возможно, здесь рассуждения можно как-то упростить, но я не уверен. В любом случае, нужна какая-то теорема о структуре упрощающего выражения.