Наивные вопросы по алгебре

[Geen]

Пусть у нас есть кольцо, а какое-то его подкольцо является полем. Можно ли что-то интересное сказать про само кольцо?

[Mental]

Geen в сообщении #1701239 писал(а):

Пусть у нас есть кольцо, а какое-то его подкольцо является полем. Можно ли что-то интересное сказать про само кольцо?

Кольцо становится векторным пространством над этим полем (если память не изменяет).

[Geen]

Mental
Спасибо! Попробую поискать доказательство.

[mihaild]

Mental в сообщении #1701240 писал(а):

Кольцо становится векторным пространством над этим полем

Совсем не обязательно.
Кольцо $\mathbb R \times \mathbb Z_2$ с покоординатными операциями. В нём есть подполе $\mathbb Z_2$, но оно не является векторным пространством над $\mathbb Z_2$, потому что должно быть $1_2 \cdot (1, 0) = (1, 0)$, $(1_2 + 1_2 + 1_2) \cdot (1, 0) = 1_2 \cdot (1, 0) = (1, 0)$, и одновременно $(1_2 + 1_2 + 1_2) \cdot (1, 0) = (1, 0) + (1, 0) + (1, 0) = (3, 0)$.

[dgwuqtj]

Смотря что ТС имел в виду под подкольцом. Если исходное кольцо $R$ ассоциативное, имело единицу и его подполе $F$ тоже содержит эту единицу, то $R$ будет векторным пространством над $F$. Даже двумя способами, левым и правым, они не совпадают для $\mathbb C \subseteq \mathbb H$.

[Geen]

dgwuqtj в сообщении #1701325 писал(а):

Если исходное кольцо $R$ ассоциативное

Да, на неассоциативные конструкции у меня кишка тонка

dgwuqtj в сообщении #1701325 писал(а):

имело единицу

Исходно не предполагается.

dgwuqtj в сообщении #1701325 писал(а):

его подполе $F$ тоже содержит эту единицу

Вроде бы, если кольцо с единицей, то любое его подкольцо тоже содержит эту единицу... Но вот в обратную сторону? (так как поле заведомо имеет единицу)

[mihaild]

Geen в сообщении #1701327 писал(а):

если кольцо с единицей, то любое его подкольцо тоже содержит эту единицу

Если подкольцо - это подмножество, на котором выполнены аксиомы кольца относительно исходных операций - то не обязательно. $2 \mathbb Z$ - подкольцо $\mathbb Z$.

[dgwuqtj]

Контрпример когда единицы не совпадают уже привели. Пример когда в $R$ нет единицы вообще: $R = \mathbb R^2$ с покомпонентным сложением и с умножением $(a, b) \cdot (c, d)b= (0, b d)$, в нём есть подполе $0 \times \mathbb R$. Ну а неассоциативный пример — это $\mathbb C \subseteq \mathbb O$.

[Geen]

mihaild в сообщении #1701328 писал(а):

$2 \mathbb Z$ - подкольцо $\mathbb Z$.

Да, действительно, спасибо!

dgwuqtj в сообщении #1701334 писал(а):

в нём есть подполе $0 \times \mathbb R$.

Спасибо!