2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Наивные вопросы по алгебре
Сообщение10.09.2025, 13:06 
Аватара пользователя
Пусть у нас есть кольцо, а какое-то его подкольцо является полем. Можно ли что-то интересное сказать про само кольцо?

 
 
 
 Re: Наивные вопросы по алгебре
Сообщение10.09.2025, 13:34 
Аватара пользователя
Geen в сообщении #1701239 писал(а):
Пусть у нас есть кольцо, а какое-то его подкольцо является полем. Можно ли что-то интересное сказать про само кольцо?

Кольцо становится векторным пространством над этим полем (если память не изменяет).

 
 
 
 Re: Наивные вопросы по алгебре
Сообщение10.09.2025, 20:53 
Аватара пользователя
Mental
Спасибо! Попробую поискать доказательство.

 
 
 
 Re: Наивные вопросы по алгебре
Сообщение10.09.2025, 21:10 
Аватара пользователя
Mental в сообщении #1701240 писал(а):
Кольцо становится векторным пространством над этим полем
Совсем не обязательно.
Кольцо $\mathbb R \times \mathbb Z_2$ с покоординатными операциями. В нём есть подполе $\mathbb Z_2$, но оно не является векторным пространством над $\mathbb Z_2$, потому что должно быть $1_2 \cdot (1, 0) = (1, 0)$, $(1_2 + 1_2 + 1_2) \cdot (1, 0) = 1_2 \cdot (1, 0) = (1, 0)$, и одновременно $(1_2 + 1_2 + 1_2) \cdot (1, 0) = (1, 0) + (1, 0) + (1, 0) = (3, 0)$.

 
 
 
 Re: Наивные вопросы по алгебре
Сообщение10.09.2025, 21:35 
Смотря что ТС имел в виду под подкольцом. Если исходное кольцо $R$ ассоциативное, имело единицу и его подполе $F$ тоже содержит эту единицу, то $R$ будет векторным пространством над $F$. Даже двумя способами, левым и правым, они не совпадают для $\mathbb C \subseteq \mathbb H$.

 
 
 
 Re: Наивные вопросы по алгебре
Сообщение10.09.2025, 21:43 
Аватара пользователя
dgwuqtj в сообщении #1701325 писал(а):
Если исходное кольцо $R$ ассоциативное

Да, на неассоциативные конструкции у меня кишка тонка :mrgreen:
dgwuqtj в сообщении #1701325 писал(а):
имело единицу

Исходно не предполагается.
dgwuqtj в сообщении #1701325 писал(а):
его подполе $F$ тоже содержит эту единицу

Вроде бы, если кольцо с единицей, то любое его подкольцо тоже содержит эту единицу... Но вот в обратную сторону? (так как поле заведомо имеет единицу)

 
 
 
 Re: Наивные вопросы по алгебре
Сообщение10.09.2025, 21:50 
Аватара пользователя
Geen в сообщении #1701327 писал(а):
если кольцо с единицей, то любое его подкольцо тоже содержит эту единицу
Если подкольцо - это подмножество, на котором выполнены аксиомы кольца относительно исходных операций - то не обязательно. $2 \mathbb Z$ - подкольцо $\mathbb Z$.

 
 
 
 Re: Наивные вопросы по алгебре
Сообщение10.09.2025, 22:29 
Контрпример когда единицы не совпадают уже привели. Пример когда в $R$ нет единицы вообще: $R = \mathbb R^2$ с покомпонентным сложением и с умножением $(a, b) \cdot (c, d)b= (0, b d)$, в нём есть подполе $0 \times \mathbb R$. Ну а неассоциативный пример — это $\mathbb C \subseteq \mathbb O$.

 
 
 
 Re: Наивные вопросы по алгебре
Сообщение10.09.2025, 23:56 
Аватара пользователя
mihaild в сообщении #1701328 писал(а):
$2 \mathbb Z$ - подкольцо $\mathbb Z$.

Да, действительно, спасибо!
dgwuqtj в сообщении #1701334 писал(а):
в нём есть подполе $0 \times \mathbb R$.

Спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group