Функциональное уравнение (школьное)

[marie-la]

Это все хорошо. Только я не понимаю, как это противоречит тому, что $f(p^n) = r_p^n p^{n \cdot s_p}$ для $r_p$ взаимно простого с $p$, почему $r_p=1$

[RIP]

Пусть $a>1$, $b=f(a)$. Тогда $\frac{b^n+1}{a^n+1}\in\mathbf{N}$ при всех $n\in\mathbf{N}$. Согласно известной задаче (на этом форуме этот сюжет несколько раз всплывал, ссылки искать лень), отсюда следует, что $b=a^{2m-1}$ при некотором $m\in\mathbf{N}$.

Из равенства $f(pq)=f(p)f(q)$ ($p,q$ — различные простые) следует, что $f(p)=p^{2m-1}$, где $m$ не зависит от $p$. Следовательно, $f(x)=x^{2m-1}$.

[nnosipov]

RIP в сообщении #1700467 писал(а):

Тогда $\frac{b^n+1}{a^n+1}\in\mathbf{N}$ при всех $n\in\mathbf{N}$. Согласно известной задаче (на этом форуме этот сюжет несколько раз всплывал, ссылки искать лень)

О, да) Только, насколько я помню, речь там шла о дроби $(b^n-1)/(a^n-1)$. Мне тоже ссылку искать лень, но я укажу на первоисточник (вероятно) этой задачи: Cavachi M. A Powerful Property // Amer. Math. Monthly. 2000. Vol. 107. № 7. P. 654. Что забавно: с этой задачей никто из читателей AMM тогда не справился, и было опубликовано решение by the proposer (на мой взгляд, несколько искусственное, на dxdy решения были более идейные).

[RIP]

«Известная задача» предлагалась на форуме: https://dxdy.ru/topic4275.html. Решения там нет, но есть какие-то ссылки. В частности, вариант с «$-1$» на AoPS: https://artofproblemsolving.com/community/c6h4556.

Похожая задача с наброском решения: https://dxdy.ru/topic48627.html.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Причина переноса: видимо, более подходящий раздел.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

waxtep в сообщении #1700117 писал(а):

Кажется, это не всё: ещё единичка подходит,

Я думал, Вы подразумеваете тождество $f(x) = x$

waxtep в сообщении #1700117 писал(а):

а ещё $x$ умножить на какую-нибудь интересную функцию, типа функции Лиувилля (в задаче же не просят непрерывную функцию)

Ну, или умножить на просто константу: $f(x) = kx$

[waxtep]

(Оффтоп)

Dan B-Yallay, нет, меня как-то смешно переклинило, что $f(x)=1$ подходит. На константу (отличную от единицы), кстати, тоже умножать не получится - первое уравнение сломается. Коварная задача

Мне пришло в голову, что полезно рассмотреть $f(p^n)+f(1)$, но довести идею до решения не хватило ума плюс опыта помножить на заинтересованность