Мыльный пузырь

[maxmatem]

Найти оценку максимальной высоты $H$ , на которую поднимется мыльный пузырь, если наполнить его гелием до некоторого радиуса $R$ .

Толщина пленки пузыря $D=10^{-5}$ (см), а коэффициент поверхностного натяжения $\sigma=0,03$ $\dfrac{\textit{Дж}}{\textit{см}^2}$

[Утундрий]

$p=101325\; \text{Па}\; , \quad T=293,15 \; \text{К}$

[realeugene]

Коэффициент поверхностного натяжения одной стороны плёнки? Нужно удваивать?

(Оффтоп)

Задумался: а из-за слоистой структуры тонкой мыльной стенки не должна ли двумерная плотность энергии стенки зависеть от того, как меняется концентрация мыла в её толщине?

[rockclimber]

realeugene
1. Думаю, нужно удваивать
2. Испарение воды еще учтите…

-- 21.08.2025, 15:34 --

P. S. Температура воздуха с высотой тоже не меняется? А то замерзнет же пузырь…

[maxmatem]

rockclimber

Цитата:

P. S. Температура воздуха с высотой тоже не меняется? А то замерзнет же пузырь…

Будем считать температуру постоянной

realeugene

Цитата:

Нужно удваивать?

Само собой .

-- Чт авг 21, 2025 19:55:15 --

Утундрий

Ну можно менее реалистично

$p=10^{5}$ (Па)

[DimaM]

maxmatem в сообщении #1699236 писал(а):

коэффициент поверхностного натяжения $\sigma=0,03$ $\dfrac{\textit{Дж}}{\textit{см}^2}$

Завышено в $10^4$ раз

[maxmatem]

DimaMПочему Вы так решили что завышен ?

Господа , предлагаю решать задачу в общем виде

[EUgeneUS]

maxmatem в сообщении #1699307 писал(а):

предлагаю решать задачу в общем виде

Это, так называемая, задача на оценку.
Когда в условии задачи даётся некое явление, а ученик должен сам должен выбрать его физическую модель, подставить в общее решение справочные числовые данные и получить численный ответ, близкий к реальному.

К сожалению, в этом смысле задача нехороша. Лимитирующим фактором времени жизни мыльных пузырей является
а) стекание раствора вниз и истончение плёнки вверху
б) высыхание раствора.

Тут же скорее всего имеется в виду высота, на которой плотность атмосферы почти уравнивается с плотностью гелия за счет дополнительного давления со стороны пленки (и учесть, что подъемная сила должна быть равна весу мыльной плёнки).

Высота эта будет исчисляться километрами. Ни один реальный мыльный пузырь её никогда не достигнет.

Кроме указанных выше факторов достичь этой высоты помешает раздувание пузыря, рост площади пленки и её истончение до потери целостности. Именно поэтому резиновые игрушечные гелиевые шары (почти) всегда лопаются на высоте.

[DimaM]

maxmatem в сообщении #1699307 писал(а):

Почему Вы так решили что завышен ?

Потому что я знаю правильные значения. Вы вместо метра написали сантиметр, вот и вышла ерунда (с сантиметрами нужно писать дины или эрги).

-- 22.08.2025, 12:40 --

(realeugene)

realeugene в сообщении #1699253 писал(а):

Задумался: а из-за слоистой структуры тонкой мыльной стенки не должна ли двумерная плотность энергии стенки зависеть от того, как меняется концентрация мыла в её толщине?

Обычно считают, что распределение по толщине не слишком важно. А поверхностное натяжение зависит от поверхностной концентрации мыла $\psi$ по формуле типа ленгмюровской

$$\sigma(\psi)/\sigma_0=1+\beta_s\ln(1-\psi/\psi_0).$$

Здесь $\psi_0$ - предельная поверхностная концентрация.

[maxmatem]

DimaM
Прошу прощения за неточность .

[DimaM]

Пусть при внешнем давлении $P_0$ пузырь имеет радиус $R_0$. Давление внутри пузыря обозначим $P_1=P_0+4\sigma/R_0$.
Каким будет радиус пузыря при внешнем давлении $P$ и неизменной температуре воздуха внутри пузыря:

$$P+\dfrac{4\sigma}{R}=P_1\dfrac{R_0^3}{R^3}\quad \Rightarrow\quad PR^3+4\sigma R^2-P_1R_0^3=0.$$

Полученное кубическое уравнение, конечно, решается, но заниматься этим совсем не хочется.

[realeugene]

DimaM в сообщении #1699309 писал(а):

Обычно считают, что распределение по толщине не слишком важно.

Но ведь именно это распределение концентрации мыла по толщине стабилизирует стенку пузыря? А значит, зависимость двумерной плотности энергии стенки от толщины должна быть существенной?

[DimaM]

(realeugene)

realeugene в сообщении #1699319 писал(а):

Но ведь именно это распределение концентрации мыла по толщине стабилизирует стенку пузыря? А значит, зависимость двумерной плотности энергии стенки от толщины должна быть существенной?

В моделях, с которыми я имел дело, силы только поверхностные. Поверхностная концентрация действительно связана с объемной через диффузию и адсорбцию/десорбцию.
Думаю, что в практических случаях поверхностная концентрация близка к предельной и от толщины пленки зависит слабо.

[realeugene]

(DimaM)

DimaM в сообщении #1699320 писал(а):

В моделях, с которыми я имел дело, силы только поверхностные.

Перпендикулярно градиенту концентрации тоже есть поверхность равного уровня. Иными словами, энергия Гиббса должна зависеть от концентрации мыла.

Не стыкуется стабильность мыльной плёнки с независимостью её энергии от толщины. У более тонкой плёнки энергия должна быть выше, чтобы толщина выравнивалась. Припоминаю, что когда плёнка высыхает, на ней появляются чёрные пятна как признак того, что она сейчас лопнет, которые объяснялись когда-то как исчезновение слоя воды в центре плёнки, если уже мне память не изменяет.

[EUgeneUS]

DimaM в сообщении #1699317 писал(а):

Полученное кубическое уравнение, конечно, решается, но заниматься этим совсем не хочется.

Оно упрощается до квадратного после записи условия на гидростатическое равновесие.
По дороге ещё нужно показать, что масса гелия в пузыре будет много больше массы плёнки (для пузырей разумных размеров - с радиусом порядка единиц сантиметров).

-- 22.08.2025, 11:16 --

получается так:

$$4\sigma R^2 \frac{\mu_{\text{air}}} {\mu_{\text{air}}-\mu_{\text{He}}} = P_1 R_0^3$$

-- 22.08.2025, 11:49 --

А лучше подставить радиус (про него не спрашивают).

У меня поучилось так:
1. Через условие гидростатического равновесия:

$$R =\frac{4 \sigma \mu_{\text{He}}}{P (\mu_{\text{air}}-\mu_{\text{He}})}$$

2. После подстановки и до первого порядка малости по отношению молярных масс:

$$P^2 = (\frac{\mu_{\text{air}}}{\mu_{\text{He}}})^2 \frac{(4 \sigma)^3}{P_1 R_0^3}$$

$P$ - конечное внешнее давление.
$R_0$ - начальный радиус
$P_1$ - начальное внутреннее давление

3. Далее определяем высоту по барометрической формуле.