Доказать, что тор является гладким двумерным вложенным много

[AntonioVivaldi]

Доказать, что тор, полученный вращением вокруг оси $Oz$ окружности $(x - r)^2 + z^2 = R^2$, где $R > r$, является гладким двумерным вложенным многообразием.

Вроде тут просто определения надо было проверить. Всё ли я правильно сделала?

Тор можно задать параметрически с помощью углов $\theta$ (вращение вокруг оси $Oz$) и $\varphi$ (угол на окружности):

$$ \begin{cases} x = (R + r \cos \varphi) \cos \theta \\ y = (R + r \cos \varphi) \sin \theta \\ z = r \sin \varphi \end{cases}, \quad \theta, \varphi \in [0, 2\pi) $$

где $r$ — расстояние от центра тора до центра окружности, $R$ — радиус окружности ($R > r$).


Гладкость параметризации:

Функции $x(\theta,\varphi)$, $y(\theta,\varphi)$, $z(\theta,\varphi)$ бесконечно дифференцируемы по $\theta$ и $\varphi$, так как являются композициями тригонометрических функций.

Регулярность параметризации:

Матрица Якоби:

$$ J = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \varphi} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -(r + R \cos \varphi) \sin \theta & -R \sin \varphi \cos \theta \\ (r + R \cos \varphi) \cos \theta & -R \sin \varphi \sin \theta \\ 0 & R \cos \varphi \end{pmatrix} $$

Ранг $J$ равен 2 для всех $\theta, \varphi$, так как векторы:

$$ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = \begin{pmatrix} -(R + r \cos \varphi) \sin \theta \\ (R + r \cos \varphi) \cos \theta \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi} = \begin{pmatrix} -r \sin \varphi \cos \theta \\ -r \sin \varphi \sin \theta \\ r \cos \varphi \end{pmatrix} $$

линейно независимы (их векторное произведение не обращается в ноль).



Уравнение:

$$ \left( \sqrt{x^2 + y^2} - r \right)^2 + z^2 = R^2 $$

Раскрывая скобки:

$$ (x^2 + y^2 + z^2 + r^2 - R^2)^2 = 4r^2(x^2 + y^2) $$

Градиент функции $F(x,y,z) = (x^2 + y^2 + z^2 + r^2 - R^2)^2 - 4r^2(x^2 + y^2)$:

$$ \nabla F = \begin{pmatrix} 4x(x^2 + y^2 + z^2 + r^2 - R^2) - 8r^2x \\ 4y(x^2 + y^2 + z^2 + r^2 - R^2) - 8r^2y \\ 4z(x^2 + y^2 + z^2 + r^2 - R^2) \end{pmatrix} $$

На торе ($F = 0$) градиент $\nabla F$ не обращается в ноль, что гарантирует гладкость поверхности (по теореме о неявной функции).


Вложение в $\mathbb{R}^3$:

Параметризация инъективна на $[0, 2\pi) \times [0, 2\pi)$ с отождествлением границ:

Точки $(\theta, 0)$ и $(\theta, 2\pi)$ отображаются в одну точку
Точки $(0, \varphi)$ и $(2\pi, \varphi)$ отображаются в одну точку

Это соответствует стандартной топологии тора как факторпространства квадрата.

Отображение параметризации собственное:

Прообраз любого компакта в $\mathbb{R}^3$ компактен в $[0, 2\pi] \times [0, 2\pi]$
Следует из ограниченности тора и непрерывности параметризации


Параметризация инъективна на $[0, 2\pi) \times [0, 2\pi)$ с отождествлением границ. Отображение собственное (прообразы компактов компактны). Таким образом, тор является гладким двумерным вложенным многообразием в $\mathbb{R}^3$.

[dgwuqtj]

AntonioVivaldi в сообщении #1698536 писал(а):

тор, полученный вращением вокруг оси $Oz$ окружности $(x - r)^2 + z^2 = R^2$, где $R > r$, является гладким двумерным вложенным многообразием.

А это неправда, он является только погруженным многообразием. Нет инъективности. Ну или вы напутали с неравенством $R > r$.