Применим ли закон сохранения кинетического момента?

[reterty]

Канат общей массой $M$ и длиной свободной части $L$ привязан к вертикальной тумбе (столбу) радиуса $a$. В начальный момент времени считается что канат, вращаясь в горизонтальной плоскости, имеет начальную угловую скорость $\omega_0$. Определить угловую скорость каната как функцию намотанной (ненамотанной) части каната при последующем его навивании на тумбу. Естественно, просится использование закона сохранения момента импульса. Но все же одолевают сомнения: ведь момент инерции уменьшается не только за cчет уменьшения длины но и за счет уменьшения массы вращающейся части веревки? Вроде как момент импульса свободной части веревки меняется со временем за счет момента силы натяжения...

[realeugene]

reterty в сообщении #1698269 писал(а):

Естественно, просится использование закона сохранения момента импульса.

Расскажите, как он тут сохраняется?

[reterty]

realeugene в сообщении #1698292 писал(а):

reterty в сообщении #1698269 писал(а):

Естественно, просится использование закона сохранения момента импульса.

Расскажите, как он тут сохраняется?

момент импульса свободной части веревки меняется со временем за счет момента силы натяжения

[realeugene]

То есть, не сохраняется, а меняется. ОК. Тогда, наверное, можно записать дифур.
В этой задаче есть ещё один нюанс. Доказать, что верёвка всё время будет оставаться прямой. Если будет. Потому что если она всё время прямая, то с какой стати будет изменяться угловая скорость вращения её конца? А если угловая скорость вращения изменяться не будет, то куда девается лишняя кинетическая энергия? Так что, возможно, бегающие по ней волны необходимы, которые будут выглядеть как изгиб этого конца.

[sergey zhukov]

reterty
Тут одна степнь свободы (если канат считать все время прямым). Нужно решать через сохранение энергии. А момент импульса не сохраняется.

[reterty]

sergey zhukov в сообщении #1698359 писал(а):

reterty
Тут одна степнь свободы (если канат считать все время прямым). Нужно решать через сохранение энергии. А момент импульса не сохраняется.

Я надеюсь, закон сохранения для величины $\dfrac{mv^2}{2}$ но никак не $\dfrac{I\omega^2}{2}$?

[sergey zhukov]

reterty
Так это же одно и то же, если момент инерции вычисляется относительно текущей точки касания веревки и тумбы.

[lel0lel]

sergey zhukov в сообщении #1698359 писал(а):

Нужно решать через сохранение энергии.

Имхо, странная модель получится, этакий "концентратор энергии", при этом -- волн нет. Или может имелось, что сохранение энергии той части, которая ещё ненамотана на катушку, а всё, что уже ударилось о тумбу энергию теряет?
Я бы начал с кинематики. Можно записать параметрическое уравнение траектории конца каната (в приближении, что он всегда прямой). Параметром выбрать угол намотки на барабан. А что там сохраняется и сохраняется ли -- так сразу не видно.

[sergey zhukov]

lel0lel
Не, вся энергия намотанной части переходит в еще не намотанную. Как-то это происходит, точно не ясно, как.

Похоже на задачу раскатывания рулона. Там тоже все, что раскаталось, отдает свою энергию тому, что еще катится.

[lel0lel]

sergey zhukov
Мне кажется, что тут другое. В рулоне плюс-минус понятно, там убывает потенциальная энергия (рулон худеет), а его поверхность "выстилает" пол, не имея относительно него скорости. В общем, надо будет посмотреть) Думаю, что задача на кинематику, если требовать прямоту каната.

[lel0lel]

У меня получилось, что сохраняется энергия только той части, которая ещё не успела прилипнуть к столбу. Другими словами, скорости всё ещё движущихся точек по модулю не меняются. А вот если бы происходила "перекачка" энергии от прилипшей к барабану части, то, при равных начальных скоростях и длинах, шарик на леске проигрывал бы канату, который бы непрерывно разгонялся.
Кстати, на форуме уже обсуждали: https://dxdy.ru/topic56610.html

[sergey zhukov]

lel0lel
Если шарик на невесомой нитке расматривать, то там понятно, что вся энергия всегда в шарике и нет вопроса о том, что происходит с энергией нитки.

Если потерь нет, а намотанная часть веревки лежит на тумбе плотно, то никаких других вариантов (кроме как, что неподвижная часть отдала энергию подвижной) нет. Может быть разве что следующее: при отсутствии потерь энергии намотанная часть не лежит на тумбе плотно, а колеблется (потому, что и вообще вращающаяся часть колеблется, а не прямая). Мне почему-то кажется, что намотанная часть может лежать плотно.

Тут можно кинематически решать (Вот тут канат неподвижен, тут он вращается вокруг точки касания, как твердое тело). Не факт, конечно, что такая трактория может быть вообще при условии отсутствия потерь (и даже при наличии). Разве что, как приближение.

[realeugene]

Понятно, что конец должен искривляться. Интересно, как лучше всего параметризовать форму верёвки, чтобы проще всего получить для неё динамические уравнения и проинтегрировать их хотя бы численно? Двумерные координаты как функция длины с дополнительными неявными ограничениями на нерастяжимость и непроникновение верёвки внутрь шеста, считая, что при первом контакте участок верёвки прилипает к шесту и полностью останавливается, теряя кинетическую энергию?

[reterty]

realeugene в сообщении #1698440 писал(а):

Понятно, что конец должен искривляться. Интересно, как лучше всего параметризовать форму верёвки, чтобы проще всего получить для неё динамические уравнения и проинтегрировать их хотя бы численно? Двумерные координаты как функция длины с дополнительными неявными ограничениями на нерастяжимость и непроникновение верёвки внутрь шеста, считая, что при первом контакте участок верёвки прилипает к шесту и полностью останавливается, теряя кинетическую энергию?

Думаю, параметризация должна быть схожа на ту, которую применяют в расчетах по Helicoseir https://mathphys.net/helicoseir.pdf

[realeugene]

reterty в сообщении #1698446 писал(а):

Думаю, параметризация должна быть схожа на ту, которую применяют в расчетах по Helicoseir https://mathphys.net/helicoseir.pdf

В данной задаче зависимость радиуса от угла может быть неоднозначной.